![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1) I - й признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами: (1) и
(2), причем члены 1-го ряда не превосходят членов 2-горяда, т.е. при любом
. Тогда а) если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1),
б) если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).
Пример. Исследовать сходимость ряда: . Решение. Сравним данный ряд со сходящимся геометрическим рядом:
(его знаменатель
). Т.к. члены данного ряда, начиная со второго, меньше членов сходящегося геометрического ряда
и вообще
, то на основании признака сравнения ряд
сходится.
Отметим «эталонные» ряды, часто используемые для сравнения:
а) геометрический ряд - сходится при
, расходится при
,
б) гармонический ряд - расходится,
в) обобщенный гармонический ряд сходится при
, расходится при
.
2) II - й признак сравнения. Если и
- ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения их общих членов
, то ряды одновременно сходятся, либо расходятся.
Пример. Исследовать сходимость ряда . Решение. Сравним ряд с расходящимся гармоническим рядом
. Т.к.
, то данный ряд расходится, так же как и гармонический.
3) Признак Даламбера. Пусть для ряда с положительными членами существует предел отношения
члена к
-му члену:
. Тогда, если
, то ряд сходится, если
, то ряд расходится, если
, то вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Пример. Исследовать сходимость ряда . Решение. Так как
, то применяя признак Даламбера, имеем
. Следовательно, ряд сходится.
Пример. Исследовать сходимость гармонического ряда с помощью признака Даламбера. Решение.
(вопрос открыт).
4) Интегральный признак сходимости. Пусть дан ряд , члены которого положительны и не возрастают, т.е.
, а функция
, определенная при
, непрерывная и не возрастающая и
. Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл
.
Пример. Исследовать сходимость обобщенного гармонического ряда . Решение. Пусть
. Функция
при
(и конечно при
) положительная и невозрастающая (точнее убывающая). Поэтому сходимость ряда равносильна сходимости несобственного интеграла
. а) если
, то
. б) если
, то
Итак, ряд сходится при и расходится при
.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 435 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!