Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами

1) I - й признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами: (1) и (2), причем члены 1-го ряда не превосходят членов 2-горяда, т.е. при любом . Тогда а) если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1),

б) если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

Пример. Исследовать сходимость ряда: . Решение. Сравним данный ряд со сходящимся геометрическим рядом: (его знаменатель ). Т.к. члены данного ряда, начиная со второго, меньше членов сходящегося геометрического ряда и вообще , то на основании признака сравнения ряд сходится.

Отметим «эталонные» ряды, часто используемые для сравнения:

а) геометрический ряд - сходится при , расходится при ,

б) гармонический ряд - расходится,

в) обобщенный гармонический ряд сходится при , расходится при .

2) II - й признак сравнения. Если и - ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения их общих членов , то ряды одновременно сходятся, либо расходятся.

Пример. Исследовать сходимость ряда . Решение. Сравним ряд с расходящимся гармоническим рядом . Т.к. , то данный ряд расходится, так же как и гармонический.

3) Признак Даламбера. Пусть для ряда с положительными членами существует предел отношения члена к -му члену: . Тогда, если , то ряд сходится, если , то ряд расходится, если , то вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Пример. Исследовать сходимость ряда . Решение. Так как , то применяя признак Даламбера, имеем . Следовательно, ряд сходится.

Пример. Исследовать сходимость гармонического ряда с помощью признака Даламбера. Решение. (вопрос открыт).

4) Интегральный признак сходимости. Пусть дан ряд , члены которого положительны и не возрастают, т.е. , а функция , определенная при , непрерывная и не возрастающая и . Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл .

Пример. Исследовать сходимость обобщенного гармонического ряда . Решение. Пусть . Функция при (и конечно при ) положительная и невозрастающая (точнее убывающая). Поэтому сходимость ряда равносильна сходимости несобственного интеграла . а) если , то . б) если , то

Итак, ряд сходится при и расходится при .