![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
При решении ряда математических задач, например в приложениях математики в экономике, приходится рассматривать суммы, составленные из бесконечного множества слагаемых. Эта проблема решается в теории рядов.
Понятие числового ряда. Сходимость ряда и его сумма
Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел соединенных знаком сложения:
, (13.1)
где называются членами ряда, а
- общим или
-м членом ряда,
- натуральные числа.
Ряд (13.1) считается заданным, если известен его общий член .
Например, дан ряд общий член:
.
Более сложной является задача: по нескольким членам написать общий член.
Пример. Найти общий член ряда . Решение. Нетрудно убедиться, что
.
Определение. Сумма первых членов ряда
называется
-й частичной суммой ряда.
Определение. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е.
. (13.2)
Число называется суммой ряда, поэтому можно записать:
. (13.3)
Определение. Если конечного предела последовательности частных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.
Пример. Исследовать сходимость геометрического ряда (составленного из членов геометрической прогрессии): .
Решение. Требуется установить, при каких значениях знаменателя прогрессии ряд сходится, а при каких – расходится. Из школьного курса алгебры известно, что
. Рассмотрим возможные варианты.
1) Если , то
,
, т.е.
- ряд сходится.
2) Если , то
, следовательно,
и ряд расходится.
3) Если , то ряд примет вид
,
,
, т.е. ряд расходится.
4) Если , то ряд примет вид
,
при
- четном,
при
- нечетном,
не существует и ряд расходится.
Таким образом, геометрический ряд сходится к сумме при и расходится при
.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 362 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!