Знакопеременные ряды

Определение. Под знакопеременным рядом понимается ряд, в котором любой член может быть как положительным, так и отрицательным.

Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда). Если ряд, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда сходится, то сходится и исходный ряд.

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин его членов, сходится.

Определение. Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Пример. Исследовать на абсолютную сходимость ряд .

Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда: . Применим признак Даламбера: , , , т.е. ряд, составленный из модулей членов исходного ряда, сходится.

Следовательно, знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

48. Условия разложения функций в степенной ряд. Ряд Маклорена. Разложение в ряд Маклорена функции у=е ^x (вывод). Интервал сходимости полученного ряда

Определение. Ряды, членами которых являются функции, называются функциональными, в частности, если членами ряда являются степенные функции, то такие ряды называются степенными: (14.1)

где числа - коэффициенты ряда.

Определение. Совокупность тех значений , при которых степенной ряд (14.1) сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Пример. Найти область сходимости степенного ряда . Решение. Этот ряд можно рассматривать как геометрический ряд со знаменателем , который сходится при . Откуда область сходимости есть интервал .

Теорема Абеля. 1) Если степенной ряд сходится при значении (отличном от нуля), то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях таких, что . 2) Если степенной ряд расходится при , то он расходится при значениях таких, что .

Следствие. Из теоремы Абеля следует, что существует такое число , что при ряд сходится, а при - расходится.

Число получило название радиуса сходимости, а интервал - интервал сходимости степенного ряда (рис. 14.1). На концах отрезка ряд может как сходиться, так и расходиться.

Пример. Найти радиус сходимости степенного ряда (14.1), если все коэффициенты (по крайней мере с некоторого номера отличны от нуля).

Решение. По признаку Даламбера ряд сходится, если будет меньше 1. Т.е. или . Если этот предел существует, то он и является радиусом сходимости . (14.2)

Пример. Найти область сходимости степенного ряда: . Решение. Радиус сходимости определяется по формуле (14.2) , т.е. область сходимости .