Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений 1-го порядка

1) Неполные дифференциальные уравнения 1-порядка.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка (12.3) называется неполным, если оно не содержит в явном виде искомой функции или независимой переменной :

1. (не содержит ) (12.4.1)

Решение: , , откуда .

2. (не содержит ) (12.4.2)

Решение: Удобно искать в виде . т.к. , то ур-е можно записать: , откуда .

Пример. а) .

б) , .

2) Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде:

, (12.5.1)

или в виде . (12.5.2)

где - некоторые функции переменной ; - функции переменной .

Для нахождения решения (12.5.1) и (12.5.2) преобразовывают таким образом, чтобы функции, зависящие от и были в одной части равенства, а функции, зависящие от и в другой. Затем интегрируем обе части равенства.

(12.5.1)Решение: или

(12.4.2)

Пример. Решить уравнение .

Решение. Разделяя переменные, имеем . Проинтегрируем левую и правую часть равенства . Далее имеем .

, Окончательно имеем .

Уравнения вида , где и - некоторые числа, приводятся к уравниваниям с разделяющимися переменными заменой (или , где - некоторое число).

Пример. Решить уравнение .

Решение: Пусть , тогда , откуда , или . Выразим : , и .

Интегрируем: , или , следовательно .

Возвращаемся к первоначальным переменным: или , где .