Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде

, (12.6)

где - некоторая функция от (одной переменной).

Понятие однородного дифференциального уравнения тесно связано с однородными функциями. Функция называется однородной степени (по переменным и ), если для произвольного числа выполняется равенство:

.

Пример. Выяснить является ли однородной функция: .

Решение. Т.к. , то данная функция однородная степени 2.

Однородные дифференциальные решаются с помощью подстановки , которая приводит уравнение (12.6) к уравнению с разделяющимися переменными.

Решение: Пусть , тогда , откуда получим:

Пример. Решить уравнение .

Решение. Замена: , .

- уравнение с разделяющимися переменными.

Разделим переменные и выполним почленное интегрирование . ,

- общее решение.