Признаки сравнения для знакоположительных рядов

Теорема 1(признак сравнения):

Если даны 2 ряда: 1) , ; 2) , n= 1, 2,…

для которых , то 1ый ряд наз-сяможарируемым, а 2ой – можарантным.

Если 2ой ряд сход-ся, то сход-ся и 1й ряд. Если 1 ряд расх-ся, то расх-ся и 2ой ряд.

Теорема 2 (признак сравнения в предельной форме):

Если даны 2 ряда: 1) , ; 2) , n= 1, 2,…

И , то

1) Если сущ-т предел (С≠0, С≠∞), то оба ряда либо одновременно сход-ся, либо одновременно расх-ся.

2) Если , то из сход-тиможарантного ряда следует сход-тьможарируемого ряда.

3) Если , то из расх-тиможарантного ряда следует расх-тьможарируемого ряда.

Замечание: теорема 1 и 2 на практике не всегда удобны, т.к. для исследования сход-ти 1го из рядов необходимо знать поведение другого ряда или подбирать такой ряд, поведение которого известно.

Пример1: исследовать на сходимость ряд

Сравним его с гармоническим рядом >

Гармонический ряд расх-ся, поэтому расх-ся и данный ряд по 1му признаку сравнения.

Пример2: исследовать сход-ть ряда Для сравнения возьмём обобщенный гармонический ряд , кот-й сх-ся при α>1 и расх-ся при α≤1. . Ряд сх-ся. Положим . Применяем 2ой признак сравнения:

Мы сравнивали данный ряд со сх-ся рядом. По второму признаку сравнения данный ряд сх-ся.