Понятие дифференциального уравнения I порядка, его общего и частного решения

ДУ – это связь между независимой переменной х, зависимой переменной у и её производными различных порядков. F(x, y, , …, s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> (1)

Порядком ДУ называется наивысший порядок входящей в него производной. Для того, чтоб уравнение было дифференциальным необходимо, чтоб в него входила какая-либо производная Y, иначе это не будет ДУ.

Решением ДУ является всякая функция y=f(x), которая будучи подставленной в уравнение (1) обращает его в тождество. Основным методом нахождения решения ДУ является интегрирование. Т.к. в процессе интегрирования (нахождения неопределённого интеграла) находится семейство первообразных, то общее решение ДУ (1) содержит произвольные постоянные. Кол-во произвольных постоянных в общем решении ДУ (1) зависит от максимального порядка производных, т.е. если ДУ-II, то в общем решении будет содержаться 2 произвольных постоянных С1 и С2. Если ДУ-III – три произвольных постоянных (С1, С2 и С3) и т.д.
Далее подробно будем изучать ДУ-I.

ДУ-1

F(x, y, ) = 0

yобщ=ϕ(х,с) – общее решение

y= ϕ(х,с) называется общим решением ДУ-1, если она удовлетворяет устоловиям:

1) прилюбых значениях С функция y= ϕ(х,с) является решением уравнения первого порядка.

2) для любых начальных условий (х0;у0) принадлежит D существует такое значение постоянной С, что выполняется равенство у0= ϕ(х0,С)

Если в общем решении ДУ-1 зафиксировать произвольную С, то получим так называемое частное решение. Т.о. общее решение ДУ состоит из совокупности всевозможных частных решений.

Понятие неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов.

y=f(x)

С помощью неопред. интеграла находится любая первообразная y=f(x), кот. будем обознач. F(x). Первообразная для ф-ции y=f(x) наз. функция w= F(x) такая, что производная . По определению неопред. интеграла (1) По определению (1) константа С определяет любую первообразную.

Пример: y=f(x)=cosx

Фактически правая часть ф-лы(1) определяет семейство первообразных. Таким образом для нахождения неопред. Интеграла какой-либо ф-ции необходимо найти её любую первообразную и в ответ записать сумму найденных первообразных константы С.

Таблица основных неопределенных интегралов.

1.ò0d х =С.

2. ò х^a d х = +С, a¹-1.

3. ò ln| х |+С,

4. , следствие

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.