Метод интегрирования по частям. Примеры

Теорема: если ф-ции u и v дифференцируемы, а также дифференцируемо их произведение, то интеграл от udv равен

Док-во: найдем дифф-л произведения ф-ции uv

d(uv)=udv+vdu

udv=d(uv)-vdu интегрируем обе части равенства

(1)

Суть этой ф-лы состоит в том, что при правильном выборе ф-ции u и v, стоящий в правой части интеграл форм. должен оказаться проще, чем исходный интеграл в левой части

Пр:

При восстановлении ф-ции v с помощью интегрирования в ф-ле интегрирования по частям константу С полагают равную 0 или не пишут.

При применении ф-лы(1) для того, чтобы интеграл vdu стал проще исходного интеграла, необходимоправильно выбирать в исходном интеграле ф-ции u и dv.

Общая рекомендация по выбору ф-ции u: ф-ция u должна быть выбрана с учётом того, что её производная или дифф-л должны бытьпроще самой ф-ции. Общая рекомендация распадается на более конкретные рекомендации.

В интегралах вида -многочлен степени n от переменной x

В этих 0интегралах в качестве u выбирают , всё остальное dv.

Если -многочлен степени выше первой, то ф-лу интегрирования по частям нужно применять неоднократно!

В интегралах вида

, в качестве u выбирается lnx, всё остальное dv.

В интегралах вида

, в качестве u выбирают обратные тригонометрич. выраж., всё остальное.