Экстремум функции 2ух переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума функции нескольких переменных

Ɛ M0

Точка М₀ называется точкой локального минимума для функции Ƶ = f(x, y), если для любой точки М є Ɛ окрестности точки М₀ справедливо неравенство:

В окрестности множество точек, лежащие внутри

Круга с центром в точке М₀ и радиусом Ɛ. (Ɛ→0)

Аналогично определяется и локальный максимум: точка М₀ – точка локального максимума для функции Ƶ = f(x, y), если для любой точки М из Ɛ окрестности точке М справедливо неравенство:

На практике для нахождения экстремумов необходимы 2 условия в виде теорем:

Теорема 1. (необходимое условие существования экстремума в точке М₀)

Если М₀ – точка локального экстремума, то в точке М₀ 1ые производные функции 2ух переменных обращаются в 0.

Несмотря на то, что это условие является необходимым, оно используется для выбора среди точек из области определения ряда точек, в которых может быть экстремум. Конкретно для выбора экстремальных точек среди уже отобранных с помощью Теоремы 1, применяется Теорема 2(критерий Сильвестра).

Теорема 2. Функция Ƶ = f(x, y) имеет в М₀ экстремум, если определитель 2го порядка, состоящий из всевозможных 2ых производных функции 2ух переменных и вычисленный в этой точке М₀ >0. >0

⃒M₀=(x₀, y₀)

Характер экстремума определяется по 1му элементу, а именно, если , то в точке М₀ достигается минимум, если , то в точке М₀- максимум.

Если при вычислении Δ он окажется < 0, то в точке М₀ экстремума нет, если Δ = 0, то вопрос о существовании экстремума в точке M₀ остается открытым – нужны дополнительные исследования.

Ввиду того, что = (при выполнении условия теоремы) критерий можно переписать в следующем виде: Δ = ²⃒М₀

8.Свойства неопределённого интеграла

1. (òf (х)d х)'= f(х)

(òf (х)d х)'=(F(x)+C)'=F'(x)+C'= f(х)

2. Интеграл от дифференциала ф-ции f(х) равен самой ф-ции f(х) ò d f(х)= f(х)

3. Свойство линейности. Интеграл от линейной комбинации двух ф-ций равен

ò(α₁f₁(х)± α₂f₂(х)) d х = α₁òf₁(х) d х ± α₂òf₂(х) d х

Св-во 1 неопред. интеграла будем использовать на практике для проверки правильности нахождения неопред. интеграла.

В рез-те дифференцирования любой ф-ции, заданной в виде линейной комбинации элементарной ф-ции всегда получается также комбинация элементарной ф-ции. При нахождении неопред. интеграла от комбинации элементарных ф-ций не всегда получается комбинация элементарн. ф-ций, т.е. не все комбинации элементарн. ф-ций интегрируются, т.е. интегралы не от всяких ф-ций берутся.

Известные примеры «не берущихся» интегралов

- интеграл Пуасона

- интеграл Кринеля

25. Понятие несобственных интегралов I рода. Пример интеграл Дирихле I рода.

Если в определении определенного интеграла нарушено либо условие непрерывности функции, либо условие конечности отрезка интегрирования, то имеем дело с НИ.

1) Если отрезок интегрирования [a,b]- бесконечен, то НИ-1

2) Если подынтегральная функция y=f(x) разрывна на отрезке [a,b], то НИ-2

Рассмотрим НИ-1. Их может быть 3 варианта: 1) 2) 3)

Дадим определение НИ-1первого варианта: =

В случае если при вычислении НИ-1 получается константа, то говорят, что НИ-1 сходятся к этому числу. В случае если в ответе получается ∞ или предел не существует, то говорят, что НИ-1 расходится.

Аналогично определения и других НИ-1: ;

Пример: = = =

Вывод: НИ сходится к π.