Теоремы о дифференцировании сложной функции 2ух переменных

Теорема1.

Если Ƶ=f(x,y) и x=x(t), y=y(t), то производная

Если в функцию Ƶ подставить вместо х и у соответствующие функции, зависящие от переменной t, то в результате получим Ƶ(t), дифференцируя которую по t, и получим ответ Ƶ’t=Ƶ’= ;

Теорема 2.

Если функция Ƶ – функция 2ух переменных, которые в свою очередь являются также функциями 2ух переменных, то для функции Ƶ можно найти 2е частные производные по u и v.

Если до дифференцирования в исходную функцию Ƶ вместо x и y подставить зависимость от u и v

, то в результате получим функцию 2ух переменных u и v =Ƶ (u,v), поэтому необходимо найти 2е производные.

Производные высших порядков.

Для 2ух переменных: Ƶ = f(x,y):

1) Ƶ ‘_x = 2) Ƶ ‘_y =

1.1) Ƶ “_xx = 1.2) Ƶ “_xy = 2.1) Ƶ “_yx = 2.2) Ƶ “_yy =

1.2 и 2.1 – вторые смешанные производные функции2ух переменных.

Теорема: при условии существования непр-ти частных смешанных производных справедливо равенство 1.2 и 2.2, т.е порядок дифференцирования не влияет на результат. Эту теорему можно обобщить и на производные более высокого порядка: