Критерий компактности полного метрического пространства

М.П. компактно <=> оно полное и вполне ограниченное.

=>) 1). Полнота

Пусть - фунд. послед. Обозначим k N . – центр. семейство замкн. мн. Т.К. Х- компактно . Покажем что .

Рассмотрим | . Покажем что . Т.к. . Пусть ,

2).Вполне огр. Fix . Рассмотрим . – открытое порк. для X. Т.к. Х- компактно | .

<=). От противн. Допустим открытое покрытие пр-ва Х не содержащее конечного подпокрытия. В силу Леммы 1 Х можно представить в виде , где . Хотя бы 1 из множеств не покр. Никаким конечным подсемейством семейства . Обозначим его . Построим последовательность замкнутых множеств, уд-х условиям:

1).

2). не покрыто никаким конечным полсемейством семейства

3).

Множество уже определено. Пусть для опред. кот. для соотв. знач. i уровн. услов. 1-3. По лемме 1 можно представить в виде , где Хотя бы 1 из этих мн-в не покрыто никаким конечным подсемейством семейства . Обозначим его .Последовательность удовлетворяющая условиям 1-3 построена. В силу полноты последовательность .

. Рассмотрим

?!