Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Утв1. Пусть Х – ТП. Если А – связное подпр-во пр-ва Х, то Ā – связно.
Док-во (от противного): Док. что Ā не связно, т. е , , ,
ŨṼ
Ũ (под символом указать ор) Х | Ũ Ā = U; Ṽ (под символом указать ор Х | Ṽ Ā = V
A = (Ũ A) A); Ũ A (под символом указать ор) Ā, Ṽ A (под символом указать ор) A; (Ũ A) (Ṽ A) =
U V Пок. что Ũ A . Пусть х U, x Ā, x Ũ => Ũ A
Аналогично Ṽ A .▪
Утв2(Свойство Веера): Пусть Х – Т.П., , где , - связное подпр-во пр-ва Х.
Если пересечение , , то А- связно.
Док-во(от прот.): Док. А не связно т.е , ,
Пусть х Пусть напр. . Т. к V . y V, s T | y =>
.?! ▪
Связные компанеты
Опр: Связной компанетой Т.П. – Х наз любое его max по включению связное подмн-во.
Замечение: Пусть Х – связно, тогда в Х связная компоненты, а именно пр-во Х
Св-ва связных кмпонеты: Пусть Х – Т.П.
1) Пусть Х – ТП; связная компоненты пр-ва Х содержащиая точку х. Она совпадает с объединением всех связных мн-в пр-ва Х содержащих эту точку.
Док-во: Мн-во равное объединению всех связных мн-в пр-ва Х содержащих т. х => связно => - max▪
2) Cвязное компоненты замкнуты.
Док-во: Пусть С – связная комп пр-ва Х. С – св => Č – cв, С Č => С = Č, т.е С cl Х▪
3) Любые 2 связные компоненты либо не пересекаются либо совпадают.
□Док. Пусть С1 и С2- св.комп. пр-ва X, ипусть С1 Ω С2≠Ø. Р-м. С= С1 U С2; C-связно, С1 < C2, C2 C C => C1=C=C2▪
Следствие. Любое ТП пр-во X может быть представлено в виде объединения попарно не пересекающихся, max по включению связных подпр-в(связных компонент).
31) Связные компоненты топологического пространства и их свойства. Пример: связные компоненты Q (как подпространства R)
Опр. Связной компонентой Т.П. Х называется любое его максимальное по включению связное подмножество
Замечание: Пусть Х- связно, тогда в Х существует единственная связная компонента, а именно само пространство Х
Сво-ва связных компонент:
Пусть Х- Т.П.
1) связная компонента пространства содержащая точку х, она совпадает с объединением всех свойств множеств пространства Х содержащих эту точку
Рассмотрим множество Сх равное объединению всех связных множеств пространства Х содержащих точку х (отметим: {x} связно)
Сх связно (свойство веера); Сх максимальное
2) Связные компоненты замкнуты
Пусть С- связное пространство Х; С связно связное,
cl
3) 2 связные компоненты либо пересекаются, либо совпадают
С1, С2 – связн. компоненты пространства Х и пусть Рассмотрим
Следствие. Т.П. Х может быть представлено в виде объединения попарно неперсек, максимальных по включению связных подпространств (связных компонент)
Пример:
Рассмотрим подпространство Q прямой R; связные компоненты Q одноточечны
Пусть связно. Покажем, что |C| =1
От противного. Допустим х,у / х . Пусть х<у r
y |
z |
х |
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 732 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!