Связность замыкания связного множества. Свойства веера

Утв1. Пусть Х – ТП. Если А – связное подпр-во пр­-ва Х, то Ā – связно.

Док-во (от противного): Док. что Ā не связно, т. е , , ,

ŨṼ

Ũ (под символом указать ор) Х | Ũ Ā = U; Ṽ (под символом указать ор Х | Ṽ Ā = V

A = (Ũ A) A); Ũ A (под символом указать ор) Ā, Ṽ A (под символом указать ор) A; (Ũ A) (Ṽ A) =

U V Пок. что Ũ A . Пусть х U, x Ā, x Ũ => Ũ A

Аналогично Ṽ A .▪

Утв2(Свойство Веера): Пусть Х – Т.П., , где , - связное подпр-во пр-ва Х.

Если пересечение , , то А- связно.

Док-во(от прот.): Док. А не связно т.е , ,

Пусть х Пусть напр. . Т. к V . y V, s T | y =>

.?! ▪

Связные компанеты

Опр: Связной компанетой Т.П. – Х наз любое его max по включению связное подмн-во.

Замечение: Пусть Х – связно, тогда в Х связная компоненты, а именно пр-во Х

Св-ва связных кмпонеты: Пусть Х – Т.П.

1) Пусть Х – ТП; связная компоненты пр-ва Х содержащиая точку х. Она совпадает с объединением всех связных мн-в пр-ва Х содержащих эту точку.

Док-во: Мн-во равное объединению всех связных мн-в пр-ва Х содержащих т. х => связно => - max▪

2) Cвязное компоненты замкнуты.

Док-во: Пусть С – связная комп пр-ва Х. С – св => Č – cв, С Č => С = Č, т.е С cl Х▪

3) Любые 2 связные компоненты либо не пересекаются либо совпадают.

□Док. Пусть С₁ и С₂- св.комп. пр-ва X, ипусть С₁ Ω С₂≠Ø. Р-м. С= С₁ U С₂; C-связно, С₁ < C₂, C₂ C C => C₁=C=C₂▪

Следствие. Любое ТП пр-во X может быть представлено в виде объединения попарно не пересекающихся, max по включению связных подпр-в(связных компонент).

31) Связные компоненты топологического пространства и их свойства. Пример: связные компоненты Q (как подпространства R)

Опр. Связной компонентой Т.П. Х называется любое его максимальное по включению связное подмножество

Замечание: Пусть Х- связно, тогда в Х существует единственная связная компонента, а именно само пространство Х

Сво-ва связных компонент:

Пусть Х- Т.П.

1) связная компонента пространства содержащая точку х, она совпадает с объединением всех свойств множеств пространства Х содержащих эту точку

Рассмотрим множество С_х равное объединению всех связных множеств пространства Х содержащих точку х (отметим: {x} связно)

С_х связно (свойство веера); С_х максимальное

2) Связные компоненты замкнуты

Пусть С- связное пространство Х; С связно связное,

^cl

3) 2 связные компоненты либо пересекаются, либо совпадают

С₁, С₂ – связн. компоненты пространства Х и пусть Рассмотрим

Следствие. Т.П. Х может быть представлено в виде объединения попарно неперсек, максимальных по включению связных подпространств (связных компонент)

Пример:

Рассмотрим подпространство Q прямой R; связные компоненты Q одноточечны

Пусть связно. Покажем, что |C| =1

От противного. Допустим х,у / х . Пусть х<у r

y

z

х

C= ((- ?!