Теорема о компактности произведения компактных пространств

Теорема Пусть Х₁ … Х_n – компакт Т.П., Х= Х₁ … Х_n Тогда Х – компактно

(Индукция по n)

n=2; Пусть Х₁ , Х₂ - компактные пространства. Покажем, что Х= Х₁ Х₂ - компактно

U(x)

U(x)=X2

Х2

Х

х

Рассмотрим покрытие α пространства Х, состоящ.

Из множеств вида U V, где U X₁; V X₂

1 этап Покажем, что X₁ окресн. U(x) | U(x) Х₂

Х1

Покрываются конечным набором множеств из α.

Рассмотрим X₁; – компактно конечный набор

U₁ V₁, … ,U_n V_n из α | (U₁ V₁) … (U_n V_n)

Считаем, что i (U_i V_i) Рассмотрим U(x)= U₁ … U_n открытая точка х, тогда U(x) (U₁ V₁) … (U_n V_n)

2этап X₁ фиксируем окрестн U(x) | U(x) покрывается конечным набором мн-в из α

Х1

Х2

Х

{ U(x) | X₁ } – открытое покрытие X₁

X₁ комактно х₁ … х_n X | V(x₁) .. V(x_n)=

= X₁

(U(x₁) V₁) … (U(x_n) V_n) = Х₁ Х₂

i U(x_i) покрыто конечным набором

Множеств из α. Пусть утверждение верно для

n=k, k , k рассмотрим Х= Х₁ … Х_k+1

где Х₁ … Х_k+1 компактны

Х (Х₁ … Х_k) Х_k+1

компактн

компактн