Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Компактность замкнутого подпространства компактного пространства



Замкнутость компактных множеств в хаусдорфовом пространстве. Нормальность компактных хаусдорфовых пространств. Критерий компактности в Rn

1 Любое замкнутое подпространство компактного пространства компактно.

□ Пусть F X, X копмактно. Покажем, что F – комактно.

Пусть ξ- центрированное семейство замкнутых множеств подпространства F. Так как F замкнуто, то ξ- центрированное семейство замкнутых множеств в пространстве Х. Следовательно, ξ Ø ■

2 Любое компактное пространство хаусдорфова пространства замкнуто.

□ Пусть β –компактное подпространство хаусдорфова пространства Х.

Рассмотрим для точки b окрестность Ub(х) точки х и окрестность V(b) точки b такие, что Ub(х) V(b)= Ø. Так как В – компактно, то b1..bn такие, что В V(b1) .. V(bn). Пусть U=Ub1(x) .. Ubn(x), V=V(b1) .. V(bn). U V= Ø, U B = Ø ■

Компактное хаусдорфово пространство нормально(т.е. у любых двух непересекающихся множеств компактного хаусдорфового пространства существуют непересекающиеся окрестности)

Критерий компактности в Rn: Подпространство А Rn компактно А замкнуто и ограничено

) В силу (2) А – замкнуто. Рассмотрим семейство . - покрытие для А. Так как А – компактно, - как покрытие А содержит конечное подпокрытие Bn(o,k1).. Bn(o,kn). Пусть Bn(o,ki) – наибольший шар, тогда А – ограничено.

) Так как А ограничено параллелепипед П А. А замкнуто в Rn . П – компактно А компактно ■

35 Сохранение компактности непрерывными отображениями. Теорема Вейерштрасса. Пример ограниченного непрерывного отображения из R в R, не имеющего ни точки максимума, ни точки минимума

Непрерывный образ компактного пространства компактен (если f: X → Y непрерывно и сюръективно и Х – компактно, то Y – компактно).

□ Рассмотрим открытое покрытие пространства Y. Рассмотрим - открытое подпространство Х. Так как Х – компактно, содержит конечное подпокрытие, то есть

Непрерывная функция f: X → R, определенная на компактном топологическом пространстве Х, ограничена. Кроме того существуют точки, где f принимает как максимальные, так и минимальные значения.

□ Так как Х – компактно, f(x) компактно в R f(x) замкнуто и ограничено. f(x) ограничено f ограничено. Пусть a = inf f(x), b = sup f(x). Так как f(x) замкнуто, a, b f(x) . f(u) = a, f(v) = b f(u) f(x) f(v) ■

Рассмотрим f: R→ R (R – не компактно).

f(x) = arctg x.

36 Теорема о непрерывной биекции компактного пространства на хаусдорфово. Пример: граница выпуклого многоугольника на плоскости R2 гомеоморфна окружности

Непрерывная биекция компактного пространства на хаусдорфово является гомеоморфизмом

□ X,Y - топологические пространства. Х – компактно, Y - хаусдорфово. Требуется доказать, что f является гомеоморфизмом. Покажем, что f-1: Y →X непрерывно. Покажем, что

F – компакт f(F) компакт. Y хаусдорфово





Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 1055 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.013 с)...