Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Замкнутость компактных множеств в хаусдорфовом пространстве. Нормальность компактных хаусдорфовых пространств. Критерий компактности в Rn
1 Любое замкнутое подпространство компактного пространства компактно.
□ Пусть F X, X копмактно. Покажем, что F – комактно.
Пусть ξ- центрированное семейство замкнутых множеств подпространства F. Так как F замкнуто, то ξ- центрированное семейство замкнутых множеств в пространстве Х. Следовательно, ξ Ø ■
2 Любое компактное пространство хаусдорфова пространства замкнуто.
□ Пусть β –компактное подпространство хаусдорфова пространства Х.
Рассмотрим для точки b окрестность Ub(х) точки х и окрестность V(b) точки b такие, что Ub(х) V(b)= Ø. Так как В – компактно, то b1..bn такие, что В V(b1) .. V(bn). Пусть U=Ub1(x) .. Ubn(x), V=V(b1) .. V(bn). U V= Ø, U B = Ø ■
Компактное хаусдорфово пространство нормально(т.е. у любых двух непересекающихся множеств компактного хаусдорфового пространства существуют непересекающиеся окрестности)
Критерий компактности в Rn: Подпространство А Rn компактно А замкнуто и ограничено
□ ) В силу (2) А – замкнуто. Рассмотрим семейство . - покрытие для А. Так как А – компактно, - как покрытие А содержит конечное подпокрытие Bn(o,k1).. Bn(o,kn). Пусть Bn(o,ki) – наибольший шар, тогда А – ограничено.
) Так как А ограничено параллелепипед П А. А замкнуто в Rn . П – компактно А компактно ■
35 Сохранение компактности непрерывными отображениями. Теорема Вейерштрасса. Пример ограниченного непрерывного отображения из R в R, не имеющего ни точки максимума, ни точки минимума
Непрерывный образ компактного пространства компактен (если f: X → Y непрерывно и сюръективно и Х – компактно, то Y – компактно).
□ Рассмотрим открытое покрытие пространства Y. Рассмотрим - открытое подпространство Х. Так как Х – компактно, содержит конечное подпокрытие, то есть ■
Непрерывная функция f: X → R, определенная на компактном топологическом пространстве Х, ограничена. Кроме того существуют точки, где f принимает как максимальные, так и минимальные значения.
□ Так как Х – компактно, f(x) компактно в R f(x) замкнуто и ограничено. f(x) ограничено f ограничено. Пусть a = inf f(x), b = sup f(x). Так как f(x) замкнуто, a, b f(x) . f(u) = a, f(v) = b f(u) f(x) f(v) ■
Рассмотрим f: R→ R (R – не компактно).
f(x) = arctg x.
36 Теорема о непрерывной биекции компактного пространства на хаусдорфово. Пример: граница выпуклого многоугольника на плоскости R2 гомеоморфна окружности
Непрерывная биекция компактного пространства на хаусдорфово является гомеоморфизмом
□ X,Y - топологические пространства. Х – компактно, Y - хаусдорфово. Требуется доказать, что f является гомеоморфизмом. Покажем, что f-1: Y →X непрерывно. Покажем, что
F – компакт f(F) компакт. Y хаусдорфово ■
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 1055 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!