Компактность замкнутого подпространства компактного пространства

Замкнутость компактных множеств в хаусдорфовом пространстве. Нормальность компактных хаусдорфовых пространств. Критерий компактности в Rⁿ

1 Любое замкнутое подпространство компактного пространства компактно.

□ Пусть F X, X копмактно. Покажем, что F – комактно.

Пусть ξ- центрированное семейство замкнутых множеств подпространства F. Так как F замкнуто, то ξ- центрированное семейство замкнутых множеств в пространстве Х. Следовательно, ξ Ø ■

2 Любое компактное пространство хаусдорфова пространства замкнуто.

□ Пусть β –компактное подпространство хаусдорфова пространства Х.

Рассмотрим для точки b окрестность U_b(х) точки х и окрестность V(b) точки b такие, что U_b(х) V(b)= Ø. Так как В – компактно, то b₁..b_n такие, что В V(b₁) .. V(b_n). Пусть U=U_b1(x) .. Ubn(x), V=V(b₁) .. V(b_n). U V= Ø, U B = Ø ■

Компактное хаусдорфово пространство нормально(т.е. у любых двух непересекающихся множеств компактного хаусдорфового пространства существуют непересекающиеся окрестности)

Критерий компактности в Rⁿ: Подпространство А R_n компактно А замкнуто и ограничено

□ ) В силу (2) А – замкнуто. Рассмотрим семейство . - покрытие для А. Так как А – компактно, - как покрытие А содержит конечное подпокрытие Bⁿ(o,k₁).. Bⁿ(o,k_n). Пусть Bⁿ(o,k_i) – наибольший шар, тогда А – ограничено.

) Так как А ограничено параллелепипед П А. А замкнуто в Rⁿ . П – компактно А компактно ■

35 Сохранение компактности непрерывными отображениями. Теорема Вейерштрасса. Пример ограниченного непрерывного отображения из R в R, не имеющего ни точки максимума, ни точки минимума

Непрерывный образ компактного пространства компактен (если f: X → Y непрерывно и сюръективно и Х – компактно, то Y – компактно).

□ Рассмотрим открытое покрытие пространства Y. Рассмотрим - открытое подпространство Х. Так как Х – компактно, содержит конечное подпокрытие, то есть ■

Непрерывная функция f: X → R, определенная на компактном топологическом пространстве Х, ограничена. Кроме того существуют точки, где f принимает как максимальные, так и минимальные значения.

□ Так как Х – компактно, f(x) компактно в R f(x) замкнуто и ограничено. f(x) ограничено f ограничено. Пусть a = inf f(x), b = sup f(x). Так как f(x) замкнуто, a, b f(x) . f(u) = a, f(v) = b f(u) f(x) f(v) ■

Рассмотрим f: R→ R (R – не компактно).

f(x) = arctg x.

36 Теорема о непрерывной биекции компактного пространства на хаусдорфово. Пример: граница выпуклого многоугольника на плоскости R² гомеоморфна окружности

Непрерывная биекция компактного пространства на хаусдорфово является гомеоморфизмом

□ X,Y - топологические пространства. Х – компактно, Y - хаусдорфово. Требуется доказать, что f является гомеоморфизмом. Покажем, что f^-1: Y →X непрерывно. Покажем, что

F – компакт f(F) компакт. Y хаусдорфово ■