Линейно связные пространства. Связь между связностью и линейной связностью. Сохранение линейной связности непрерывными отображениями. Примеры линейно связных пространств

Опр 1 ТП Х называется линейно связным если ɏ х, у ϵ X существует непрерывное отображение f: [0, 1]->X| f(0)=x; f(1)=y.

Отобр f называется непрерывным путём, соед х и у, а мн-во f([0, 1]) – носителем пути.

Утверждение 1. Любое линейно-связное Т.П. Х –связно.

□Доказательство следует из того, что ɏ х,y X соединяющие их свойство множество, а именно носителем соед. их пути▪

Утв.2 Непрерывное отображение линейно связного пространства линейно связно. Док-во. Пусть Х, Y – ТП, f:Х->Y непр и сюръективно. Х линейно связно, покажем что У линейно связно.

Пусть у₁, у₂ ϵУ, существуют х₁, х₂ ϵХ: f(x₁)=y₁, f(x₂)=y₂, существует непр ϕ:[0;1]->Y | ϕ(0)=x₁, ϕ(1)=x₂. Пусть g=f* ϕ =>g:[0;1]->Y непр. g(0)=y₁, g(1)=y₂.

Примеры. 1) линейно связно.

Пусть х,у их радиус векторы. Отобр. f:[0; 1]® : t® = +t*( - )

f непр. f(0)=х, f(1)=у. Носитель пути -отрезок. Аналогично: п. св. Dⁿ(a,r), Bⁿ(a,r)

2) в Rⁿ S^n-1(c,r)-л.св. (n ≥2)-сфера r=2; Пусть с=(0,….,0)

Р-м, а, в ϵS¹(c,r) ϕ:[0;1]→S¹(c,r) ϕ(t)=(rcos(α+t(p-α)),rsin(α+t(β-α)))

n>2 Р-м а,в ϵ S^n-1(c,r) Ǝ двум. пл-ть. П проходящая через точки а, в,с; ПΩ S^n-1 (с, r)-окр.в П

Любое линейно связное ТП связно

Док-во. Следует из того что ɏ х, у ϵ X существует содержащее их связное множество, а именно носитель.