Полные метрические пространства. Примеры полных и неполных пространств. Полнота. Полнота подпространств

Пусть (X,ρ)-М.П.Последовательность x_n точек пространства X называется фундаментальной,если для любых ξ>0 существует p,принадлежащее N | n≥p,m≥p,выполняется ρ(x_n,x_m)<ξ

Замечание: любая сходящаяся последовательность точек – фундаментальна.

пусть (X,ρ)- метрическое пространство, х_n х, рассмотрим , т.к., х _n →х ,x)< Пусть n =

Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится.

Примеры: 1) (R,d) d(x,y)=|x-y| - полное метрическее пространство.

2) Rⁿ, d), d – евкл. метр. – полн.

) рассмотрим (x_k)_k=1 - фундаментальная последовательность. x^(k)=(x₁^(k)…x_n^(k))

Пусть (x^(k))_k=1 - фундаментальная последовательность. _i^(k))_k=1 )-фундаментальная последовательность. |x_i^(k)-x_i^(m)| d(x^(k),x^(m)) x_i R|x_i^(k) x_i. Пусть x=(x₁…x_n), тогда x_i^(k) x_i

3)пусть X=R\{0} d(x,y)=|x-y|

(x_n)_{n=1 -} фундаментальная последовательность. x_n=1/n

x_n не сходится в X, (X,d) – не полное

4) (Q,d) d(x,y)=|x-y| - не полное

Пусть (X,ρ)- полное метрическое пространство. A и A X.

Подпространство (A,ρΙ_A) полное <=> A закрыто в X.

Доказательство. “=>” От противного

Допустим A не замкнуто. x A(с волной)\A

последовательность a_n точек AΙa_x->x

a_n – фундаментальная последовательность в X => a_n - фундаментальная последовательность в A, но в A a не имеет предела?!

“<=” Рассмотрим фундаментальную последовательность a_n в (A,ρΙ_A)

Т.к. (X,ρ)- полное,существует x X | a_n->x

A закрыто в X => x A.