Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Полные метрические пространства. Примеры полных и неполных пространств. Полнота. Полнота подпространств



Пусть (X,ρ)-М.П.Последовательность xn точек пространства X называется фундаментальной,если для любых ξ>0 существует p,принадлежащее N | n≥p,m≥p,выполняется ρ(xn,xm)<ξ

Замечание: любая сходящаяся последовательность точек – фундаментальна.

пусть (X,ρ)- метрическое пространство, хn х, рассмотрим , т.к., х n →х ,x)< Пусть n =

Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится.

Примеры: 1) (R,d) d(x,y)=|x-y| - полное метрическее пространство.

2) Rn, d), d – евкл. метр. – полн.

) рассмотрим (xk)k=1 - фундаментальная последовательность. x(k)=(x1(k)…xn(k))

Пусть (x(k))k=1 - фундаментальная последовательность. i(k))k=1 )-фундаментальная последовательность. |xi(k)-xi(m)| d(x(k),x(m)) xi R|xi(k) xi. Пусть x=(x1…xn), тогда xi(k) xi

3)пусть X=R\{0} d(x,y)=|x-y|

(xn)n=1 - фундаментальная последовательность. xn=1/n

xn не сходится в X, (X,d) – не полное

4) (Q,d) d(x,y)=|x-y| - не полное

Пусть (X,ρ)- полное метрическое пространство. A и A X.

Подпространство (A,ρΙA) полное <=> A закрыто в X.

Доказательство. “=>” От противного

Допустим A не замкнуто. x A(с волной)\A

последовательность an точек AΙax->x

an – фундаментальная последовательность в X => an - фундаментальная последовательность в A, но в A a не имеет предела?!

“<=” Рассмотрим фундаментальную последовательность an в (A,ρΙA)

Т.к. (X,ρ)- полное,существует x X | an->x

A закрыто в X => x A.





Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 1306 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.006 с)...