Проектирование на произведении топологических пространств и их непрерывность отображения в произведении

Опр.1 Пусть Х=Х₁*…*Х_n, где Х₁…Х_n – ТП. fix i Отобр. p_i: X X_i так. что x=(x₁,…x_n) x_i наз. i-ым проектированием

Утв. 2 Пусть Х= Х₁*…*Х_n, где Х₁…Х_n – ТП. i проектирование p_i: X X_i непрерывно. док. пок. что _I p_i^-1(W) p¹(W)=X₁*….X_i1*W*X_i+1*….*X_n

26. Связные пространства, Простейшие хар-ки несвязан. Примеры: связность отрезка и несвязность ℚ(как подпростр. ℝ)

Опр. ТП. Х наз. несвязным если его можно представить в виде двух непустых непересекающихся открытых мн-в(т.е. в виде X где U . Х наз. связным если оно не явл. несвязным.

Утв. ТП Х след. утв. эквивалентны

а) Х несвязно

б) Х можно представить в виде объединения 2-х непустых непересек. замкн. подмн-в(т.е в виде X=F

в) В Х нетривиальное (непустое и отличное от всего Х) открыто- замкнутое мн-во

док. а б) Пусть Х=U , где,

б в) пусть Х= )

в а) пусть А⊆

Примеры:

2)Отрезок связн.

Обозначение для док.(от противного). Доп. [a,b]=U

Пусть с-середина [a,b]. Хотя бы 1 из 2-х отрезков [a,c]или [c,b] пересекается и с U и с V.

Действ. пусть напр. а [a₁,b₁ ]

Построим по инд. послед. отрезков

[a₁,b₁] … [a_n,b_n] … Каждый из которых пересек. и с U и с V для которых вып. b_n-a_n=

Пусть z – общая точка этих отрезков. Пусть, напр z [a_n,b_n]

3)

в