Секвенциально непрерывные отображения топологических пространств

Связь между непрерывностью и секвенциальной непрерывностью

Опр. Пусть X,Y –Т.П. Отображение f:X->Y наз секвенциально непрерывным, если ᗄx X и ᗄ посл.

точек пр-ва X из X_n->X=> f(x_n)->f(x)

Утв. Пусть X,Y-Т.П. f:X->Y – отображения.

а) Если f непр., то f секв. непр.

б) Если X метризуемо и f секв. непр., то f-непр.

Док-во

а) Пусть f-непр => f-cекв. непр.

Пусть в X x_n->x Покажем, что f(x_n)->f(x) (в Y)

Ǝ окр V т-ки x | f(V) ⊆U

Ǝ p | ᗄn p x_n V

Тогда ᗄn p f(x_n) U, т.е. f(x_n) ->f(x)

б) Пусть ρ-метрика согласованна с топологией пр-ва X От противного

Допустим Ǝ x X | f – разр. в т. x, т.е. Ǝ окр U т-ки f(x) | ᗄокр V т-ки x вып. f(V) ⊈ U.

В частности, ᗄn Ǝ x₁ B_p(x, )| f(x_n) ⊈ U. Тогда x_n->x, но f(x_n) не -> f(x)

21.Понятие гомеоморфизма. Пример: стереографическая проекция. Пример непрерывной биекции, не являющейся гомеоморфизмом

Опр. Пусть X, Y – Т.П. Отображение f: X → Y Называется гомеоморфизмом, если:

1) f-биекция

2) f-непр.

3) f^-1: Y→X-непр

Если Ǝ гомеоморфизм f: X → Y то пр-ва X и Y называются гомеоморфными (X≈Y)

Замечание 1. Если X-ТП- гомеоморфно подпр-ву В пр-ва Y, то говорим что X гомеоморфно вкладывается в Y, а гомеоморфизм f:X→В наз. Гомеоморфным вложением пр-ва X в пр-во Y (X Y).

Замечание 2.

Пусть X, Y, Z – Т.П.

1)X≈X; id: X →X.

2)Если У≈X,то и X≈Y.

3)Если X≈Y, Y≈Z, то и X≈Z.

Замечание 3.

Любая изометрия метрических пространств явл. гомеоморфизмом.

Примеры: 1) Пусть f: Rⁿ→R- аф. преобр. непр.

f- непр. f^-1- аф. пр-е => f^-1 непр. f- гомеоморфно

Аф. Экв. Фигуры- гомеоморфны.

2)Любой интервал ]a, в[⊆ℝ гомеоморфен ℝ

а в R ]a, в[ ≈]0;1[

ϕ: ]0,1[→]а,b[: t →a + t(b-а)

Пок. что ≈ℝ

f: →ℝ; f(t)=tg t

3)Любой шар пр-ва ℝⁿ гомеоморфен ℝⁿ Ǝ аф. преобразование, которое Bⁿ(a,r) перев. В шар Bⁿ с ц. в.т. о рад 1

Bⁿ≈ℝⁿ; f:Bⁿ->ℝⁿ:x.->

f-непр.; =(x₁,…,x_n); f()=( -непр, f-инъективно, пусть ⟹

f-cюръективно, рассмотрим ℝⁿ, ищем x. | f()= .

ищем в виде , 𝜆>0

, ( ≠0, 𝜆>0)=> =1

𝜆=1-𝜆|| ||, α= ; x.= кончим прообраз. f^-1-непрерывно.

4) Пусть M⊆ ℝ; p:M->ℝ непр. отобр.

Рассмотрим на пл-ти ℝ² фигуру Г_f:y=f(x) покажем, что Г_f≈M h:M->Г_f; h(t)=(t,f(t)) h-гомеоморфно

4^I) На пл-ти ℝ² рассмотрим фигуру Ф:y=x²

f:ℝ->ℝ; f(x)=x²; Ф≈ℝ

парабола гомеоморфна прямой

Рассмотрим : xy=1

x>0

f.:]0, + [->ℝ график .

(x)= ; ]0,+ [≈ Ф.

Заметим: ]0;+ [≈ℝ

Гомеоморфизм g:]0;+ [≈ℝ задается формулой g(x)=Ln x; Ф. ≈ℝ.

Ветвь гиперболы ≈ℝ

Парабола ≈ ветви гиперболы

5) Пусть M⊆ℝ²; f:M->ℝ непр. отобр. Рассмотрим в ℝ³ фигуру Г_f зад ур-ем z=f(x,y)

Г_f≈М

h:M->Г_f

h(x,y)=(x,y,f(x,y))

h – гомеоморфизм

5’) В ℝ³ рассмотрим фигуру Ф: x²+y²-z²=-1

z 0

Фóz=

Ф-гр. отобр f:ℝ²->ℝ опр. по правилу f(x,y)=

Ф≈ℝ²