Критерий непрерывности отображений топологических пространств

Критерий непрерывности

Пусть X,Y – Т.П. f:X—>Y - отображение. Следующие условия эквивалентны:

1) F-непрерывно

2) Для любого Uc__opY:f^-1(U)c__opX

3) Для любого Fc__clY:f^-1(F)c__clX

4) Для любого Ac_X:f(A^—)c_f(A)^—

▫ 1) =>4) Рассм для любого Ac_X. Пусть yϵ f(A^—) => Ǝ xϵ A^— ǀ f(x)=y. Рассм для любой окрестности U точки y Ǝ окрестность V точки x ǀf(v)c_U. т.к. xϵ A^—, V∩A≠ø => U∩f(A) ≠ø. Получаем: yϵ f(A)^—

4)=>3) Пусть Fc__clY. Покажем, что f^-1(F)^— = f^-1(F); f^-1(F) c_ f^-1(F)^—. Покажем, что f^-1(F)^— c_ f^-1(F) f(f^-1(F)^—)c_f(f^-1(F))^—; f(f^-1(F))c_F; Fc__clY => f(^f-1(F))^— c_ F =>) f(f^-1(F)^—)c_F => f^-1(F)^— c_f^-1(F).

3)=>2) Пусть Uc_Y; Y\Uc__clY; По условию f^-1(Y\U) c__clX; ^f-1(U)=X\ f^-1(Y\U) =>f ^-1 (U)c__op X.

2)=>1) Рассм для любого xϵX и покажем, что f непрерывно в точке x. Рассм для любой окрестности U точку f(x). F ^-1(U)c__cl X и xϵ F ^-1(U) т.е. F ^-1(U) окрестность точки x. F(f^-1 (U))c_U

▪

18. Сужение отображение на подпространство топологического пространства и его непрерывность (2 теоремы)

Сужение непрерывного отображения на подпространство

Утв1 Пусть X,Y – Т.П. f:X—>Y - непрерывное отображение, А с_Х, f(A) c_B c_Y. Тогда f_ǀA:A —>B – непрерывно.

▫ Рассм для любой точки a ϵ A. Пусть U - для любой окрестности точки f(a)в B, Ǝ окрестность Ũ точки f(a) в Yǀ Ũ∩B=U; Ǝ окрестность Ṽ точки a в X ǀf(Ṽ)c_Ũ. Пусть V=Ṽ∩A. Тогда V - окрестность точки a в A, f_ǀA(V)c_U▪

Замечание Частные случаи предыдущего утверждения:

1) f_ǀA:A —>Y – непрерывно (здесь Y=В)

2) f_ǀA:A —>f(A) – непрерывно

3) f:X—>f(X) - непрерывно

Утв2 Пусть X,Y – Т.П.; f:X—>Y - отображение

(а) Если X=F₁UF₂ …UF_n, где для любого i=1..n; F_ic__cl X и Fǀ_Fi : F_i —>Y - непрерывно, то f:X—>Y - непрерывно

(б) Если для любой точки xϵX Ǝ окрестность U_x ǀ Fǀ_Ux :U_x —>Y - непрерывно, то f - непрерывно

▫ (а) Рассм для любого Фc__cl Y и покажем, что F^-1 (Ф) c__cl X. F^-1 (Ф) = (F^-1 (Ф) ∩F₁ )U..(F^-1 (Ф) ∩F_n) для любого i=1..n F^-1 (Ф)∩F_i =(fǀ_Fi)^-1 (Ф){в конспекте не видно} F_i c__cl X => f^-1 (Ф)∩F_i c__cl X f^-1 (Ф)∩X▪