![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1. Знайти наближення функції на інтервалі [0.0; 1.2] з використанням лінійного P 1(x), квадратичного P 2(x) та кубічного P 3(x) поліномів Лаґранжа.
Розв’язок
Побудуємо лінійний поліном P 1(x) за точками і
, використовуючи (4.3) з абсцисами
і
та ординатами
і
:
Побудуємо інші поліноми Лаґранжа: квадратичний P 2(x) за трьома вузлами ,
і
; кубічний поліном P 3 (x) за чотирма –
,
,
і
.
Виконаємо підстановку ,
,
і
,
,
у формулу (4.8):
Підставивши ,
,
і
і
,
,
,
до (4.9), отримаємо:
2. Для значень x, що розбивають інтервал [0.0; 1.2] з кроком 0.1, розрахувати значення функції , значення поліномів Лаґранжа P 1 (x), P 2 (x), P 3 (x) та зобразити розв’язок у табличному й графічному вигляді. Визначити помилки наближень. Порівняти результати наближення з точним розв’язком
та проаналізувати точність поліномів Лаґранжа між собою.
Розв’язок
Значення помилок наближень Лаґранжа E 1(x), E 2(x), E 3(x) для поліномів P 1(x), P 2(x), P 3(x) відповідно наведені в табл. 4.5.
Таблиця 4.5 – Порівняння значень функції f (x) з лінійним, квадратичним і кубічним наближеннями Лаґранжа P 1(x), P 2(x), P 3(x)
xk | f (xk)=cos (xk) | E 1(xk) = f (xk) -P 1(xk) | E 2(xk) = f (xk) -P 2(xk) ) | E 3(xk) = f (xk) -P 3(xk) |
0.0 | 1. 000000 | 0. 000000 | 0. 000000 | 0. 000000 |
0.1 | 0. 995004 | 0. 048141 | 0. 004093 | -0. 000831 |
0.2 | 0. 980067 | 0. 086340 | 0. 006253 | -0. 000855 |
0.3 | 0. 955336 | 0. 114747 | 0. 006629 | -0. 000476 |
0.4 | 0. 921061 | 0. 133608 | 0. 005469 | 0. 000000 |
Продовження таблиці 4.5
0.5 | 0. 877583 | 0. 143267 | 0. 003114 | 0. 000361 |
0.6 | 0. 825336 | 0. 144157 | 0. 000000 | 0. 000890 |
0.7 | 0. 764842 | 0. 136800 | -0. 003352 | 0. 000351 |
0.8 | 0. 696707 | 0. 121802 | -0. 006338 | 0. 000000 |
0.9 | 0. 621610 | 0. 099842 | -0. 008276 | -0. 000438 |
1.0 | 0. 540302 | 0. 071671 | -0. 008416 | -0. 000765 |
1.1 | 0. 453596 | 0. 038102 | -0. 005946 | -0. 000724 |
1.2 | 0. 362358 | 0. 000000 | 0. 000000 | 0. 000000 |
У табл. 4.6 наведено оцінки середньоквадратичних відхилень помилок наближень поліномами Лаґранжа P 1(x), P 2(x), P 3(x), що розраховуються за формулою:
, (4.23)
де – значення вибірки з N елементів;
– математичне очікування чи середнє арифметичне вибірки.
Таблиця 4.6 – Оцінки середньоквадратичних відхилень помилок наближень поліномами Лагранжа.
Поліном | P 1(x), k= 1 | P 2(x), k= 2 | P 3(x), k= 3 |
![]() | 0.054357 | 0.005736 | 0.000566 |
Наближення поліномом P 3(x) до має найкращу точність, оскільки має найменше значення середньоквадратичного відхилення помилки. З табл. 4.6 бачимо, що зі збільшенням степеня інтерполяційного полінома підвищується точність наближення до функції
.
Графіки наближення функції лінійним P 1(x), квадратичним P 2(x) і кубічним P 3(x) поліномами Лаґранжа наведено на рис. 4.1, де чорними точками позначено вузли інтерполяції.
Рисунок 4.1 – Графіки наближення функції лінійним P 1(x), квадратичним P 2(x) і кубічним P 3(x) поліномами Лаґранжа на інтервалі [0.0; 1.2]
Графіки помилок наближень ,
,
відповідно лінійним P 1 (x), квадратичним P 2 (x) і кубічним P 3 (x) поліномами Лаґранжа зображено на рис. 4.2, де чорними точками позначено вузли інтерполяції.
Рисунок 4.2 – Графіки помилок наближень функції лінійним P 1 (x), квадратичним P 2 (x) і кубічним P 3 (x) поліномами Лаґранжа на
інтервалі [0.0; 1.2]
3. Побудувати таблицю різницевих відношень для функції за точками xk, для
та знайти поліноми Ньютона P 1(x), P 2(x), P 3(x), P 4(x).
Розв’язок
Наступна модель обчислень показує, як знайти коефіцієнт a 2 через різницеві відношення:
Значення різницевих відношень наведені в табл. 4.7.
Таблиця 4.7 – Таблиця різницевих відношень для функції
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | 1. 0000000 | ||||
![]() | 0. 5403023 | -0. 4596977 | |||
![]() | -0. 4161468 | -0. 9564491 | -0. 2483757 | ||
![]() | -0. 9899925 | -0. 5738457 | 0. 1913017 | 0. 1465592 | |
![]() | -0. 6536436 | 0. 3363499 | 0. 4550973 | 0. 0879318 | -0. 0146568 |
Використаємо табл. 4.7, щоб знайти коефіцієнти ak і чотири інтерполяційні поліноми Ньютона Pk (x) для k =1, 2, 3, 4.
Запишемо поліноми Ньютона з використанням формули (4.18) за вузлами та елементами
(коефіцієнтам поліномів Ньютона), які знаходяться на діагоналі табл. 4.7:
4. Для значень x, що розбивають інтервал [0; 1.2] з кроком h, розрахувати значення функції , поліномів Ньютона P 1(x), P 2(x), P 3(x), P 4(x) та подати розв’язок у табличному й графічному вигляді з використанням пакетів Mathcad та Matlab. Порівняти результати наближення з точним розв’язком
та проаналізувати точність поліномів Ньютона між собою
Розв’язок
Значення помилок наближень E 1(x), E 2(x), E 3(x), E 4(x) для поліномів Ньютона P 1(x), P 2(x), P 3(x), P 4(x) відповідно наведено в табл. 4.8.
Таблиця 4.8 – Порівняння f (x) з наближеннями Ньютона P 1(x), P 2(x), P 3(x), P 4(x)
xk | f (xk) | E 1(x k) | E 2(xk) | E 3(xk) | E 4(xk) |
0.0 | 1. 000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 |
0.1 | 0. 995004 | 0.040974 | 0.018620 | -0.006442 | -0.01371 |
0.2 | 0. 980067 | 0.072006 | 0.032266 | -0.009943 | -0.021762 |
0.3 | 0. 955336 | 0.093246 | 0.045330 | -0.011235 | -0.025362 |
0.4 | 0. 921061 | 0.104940 | 0.041544 | -0.010949 | -0.025582 |
0.5 | 0. 877583 | 0.107431 | 0.041087 | -0.009622 | -0.023363 |
0.6 | 0. 825336 | 0.101154 | 0.045337 | -0.007700 | -0.019519 |
0.7 | 0. 764842 | 0.086631 | 0.034472 | -0.005539 | -0.014742 |
0.8 | 0. 696707 | 0.064465 | 0.024725 | -0.003415 | -0.009606 |
0.9 | 0. 621610 | 0.035338 | 0.012984 | -0.001525 | -0.004572 |
1.0 | 0. 540302 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 |
1.1 | 0. 453596 | -0.040736 | -0.013415 | 0.001094 | 0.003851 |
1.2 | 0. 362358 | -0.086005 | -0.026395 | 0.001744 | 0.006810 |
У табл. 4.9 наведено оцінки середньоквадратичних відхилень помилок наближень поліномами Ньютона P 1(x), P 2(x), P 3(x), P 4(x).
Таблиця 4.9 – Оцінки середньоквадратичних відхилень помилок наближень поліномами Ньютона
Поліном | P 1(x), k= 1 | P 2(x), k= 2 | P 3(x), k= 3 | P 4(x), k= 4 |
![]() | 0.063592 | 0.024668 | 0.005016 | 0.012071 |
Аналіз табл. 4.9 свідчить, що поліном Ньютона з найвищим степенем P 4(x) не є найкращим наближенням функції . Для наближення
на відрізку [0.0; 1.2], краще використовувати поліном P 3(x), оскільки він має найменше значення оцінки середньоквадратичного відхилення помилки наближення.
Графіки наближення функції поліномами Ньютона різного степеня P 1(x), P 2(x), P 3(x), P 4(x)наведено на рис. 4.3, де чорними точками позначено вузли інтерполяції.
Рисунок 4.3 – Графіки наближення функції поліномами Ньютона різного степеня на інтервалі [0.0; 1.2]
Графіки помилок наближень ,
,
,
відповідними поліномами Ньютона P 1(x), P 2(x), P 3(x), P 4(x) зображено на рис. 4.4, де чорними точками позначені вузли інтерполяції.
Рисунок 4.4 – Графіки помилок наближень функції поліномами Ньютона різного степеня на інтервалі [0.0; 1.2]
З табл. 4.6 і 4.9 видно, що поліноми Лаґранжа порівняно з поліномами Ньютона того ж степеня дають меншу помилку наближення до функції на інтервалі [0.0; 1.2]. У зв’язку з цим, при розв’язанні різних задач для інтерполяції
функції на інтервалі [0.0; 1.2] краще використовувати поліноми Лаґранжа.
5. Знайти наближення Паде R 4,4(x) для функції . Подати розв’язок у графічному вигляді з використанням пакетів Mathcad чи Matlab. Визначити помилку наближення.
Розв’язок
Виконаємо розклад функції у ряд Маклорена:
З урахуванням розкладання Маклорена рівняння (4.20) набуває вигляду:
Виконавши перетворення та дорівнявши коефіцієнти при перших дев’яти степенях x у лівій і правій частинах, отримаємо дві системи з дев’яти лінійних рівнянь:
;
.
Розв’язок спочатку другої, а потім першої з отриманих систем лінійних рівнянь дозволяє знайти значення невідомих коефіцієнтів наближення Паде:
.
Тоді раціональне наближення Паде R 4,4(x) для функції :
На рис. 4.5 зображено графіки функції і її наближення за допомогою рядів Паде R 4,4(x). Графік помилки ЕR (x) наближення Паде R 4,4(x) зображено на рис. 4.6.
Рисунок 4.5 – Наближення Паде R 4,4(x) для функції
Рисунок 4.6 – Графік помилки наближення Паде R 4,4(x) для функції
ЗАВДАННЯ №5
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 697 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!