Наближення Лаґранжа

Інтерполяція за допомогою цього методу полягає в обчисленні невідомих значень функції шляхом одержання зваженого середнього значення функції у відомих сусідніх точках [8].

При лінійній інтерполяції використовується відрізок прямої, що проходить через дві задані точки , і записується у вигляді:

, (4.3)

де – коефіцієнти полінома Лаґранжа, який побудований на вузлах відповідно.

Вираз (4.3) можна записати у вигляді суми:

. (4.4)

Якщо використовується для наближення на інтервалі , такий процес називається інтерполяцією. Якщо (або ), то використання називають екстраполяцією.

Загальний вид полінома Лаґранжа ступеня , що проходить через N +1 точку :

, (4.5)

де – коефіцієнти полінома Лагранжа.

Коефіцієнти полінома Лаґранжа при фіксованому k мають властивості:

; (4.6)

. (4.7)

З (4.5) одержимо форму квадратичного й кубічного поліномів.

Квадратичний інтерполяційний поліном Лаґранжа побудований за трьома точками , , :

, (4.8)

де ; ; .

Кубічний інтерполяційний поліном Лаґранжа побудований за чотирма точками , , , :

, (4.9)

де ; ;

; .