![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Іноді корисно знайти кілька поліномів P 1(x), P 2(x), …, PN (x), які є наближенням функції і потім вибрати з них той, котрий задовольняє необхідні вимоги. При використанні поліномів Лаґранжа не існує чітко вираженого співвідношення між PN -1(x) і PN (x) – кожний поліном будується індивідуально, та обчислення полінома високого ступеня вимагає виконання безлічі операцій.
Поліном Ньютона, на відміну від полінома Лагранжа, має рекурентну властивість [8]:
(4.10)
(4.11)
(4.12)
Поліном (4.12) являє собою поліном Ньютона з N центрами і складається із PN -1(x) за допомогою рекурентного співвідношення:
(4.13)
Задача інтерполяції полягає в знаходженні коефіцієнтів ak для всіх поліномів P 1(x), P 2(x), …, PN (x), які є наближенням заданої функції f (x).
Pk (x) будуються за центрами і мають вузли
Коефіцієнти ak полінома PN (x) залежать від значень f (xj),
і обчислюються з використанням різницевих відношень функції f (x):
. (4.14)
Різницеві відношення для функції f (x):
(4.15)
Рекурентне правило побудови різницевих відносин високого порядку:
(4.16)
Таблиця різницевих відношень (табл. 4.1) будується з використанням (4.16).
Таблиця 4.1 – Різницеві відношення для
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | |||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Для значень на інтервалі
для функції f (x) можна побудувати єдиний поліном Ньютона
зі степенем
, для якого є правдивим:
. (4.17)
Поліном Ньютона має вигляд:
, (4.18)
де - коефіцієнти полінома Ньютона;
.
Наближення Паде
Уведемо поняття раціонального наближення функції. Основна задача такого наближення – зведення максимальної помилки наближення до мінімуму.
Раціональне наближення функції f (x) на інтервалі – це відношення двох поліномів степенів N і M відповідно:
, (4.19)
де ;
– поліноми степенів N і M відповідно.
Для наближення Паде необхідно, щоб функція f (x) та її похідні були безперервні у точці . Поліноми PN (x) і QM (x) побудовані таким чином, що функції f (x) і RN,M (x) збігаються у точці
і їх похідні до N + М порядку також збігаються у в точці
.
У випадку точним наближенням функції f (x) є розкладання у ряд Маклорена. При фіксованому значенні N + M помилка буде найменша, коли поліноми PN (x) і QM (x) мають однаковий степінь або коли степінь полінома PN (x) більше, ніж степінь QM (x).
Для аналітичної функції f (x), що має розкладання Маклорена правдивою є різниця
:
, (4.20)
де – невідомі коефіцієнти наближення Паде.
Якщо перемножити суми в лівій частині (4.20) і коефіцієнти при степенях дорівняти нулю для
, то в результаті отримаємо системи з N +1 і М лінійних рівнянь відповідно:
(4.21)
(4.22)
Першими знаходяться невідомі системи (4.22), потім рівняння в системі (4.21) послідовно використовуються для знаходження
. Для пошуку розв’язку систем (4.21), (4.22) можна використовувати матричні методи розв’язання лінійних систем (метод виключення Гаусса, ітераційні методи Якобі, Гаусса-Зейделя та ін.) [5].
У табл. 4.2 наведено приклади програм для інтерполяції функцій поліномами Лаґранжа і Ньютона, написаних мовою пакета Matlab.
Таблиця 4.2 – Програми для інтерполяції функцій поліномами Лаґранжа і Ньютона
Інтерполяція поліномом Лаґранжа |
Function [C, L]=lagran(X,Y) % вхідні параметри: X – вектор абсцис; Y – вектор ординат; % вихідні параметри: С, L – матриці коефіцієнтів поліномів Лагранжа; w=length(X); n=w-1; L=zeros(w, w); for k=1:n+1 V=1; for j=1:n+1 if k~=j V=conv(V,poly(X(j)))/(X(k)-X(j)); end end L(k,:)=V; end С=Y*L; |
Інтерполяція поліномом Ньютона |
Function [C, D]=newpoly(X,Y) % вхідні параметри: X – вектор абсцис; Y – вектор ординат; % вихідні параметри: С – вектор коефіцієнтів полінома Ньютона; D – таблиця % різницевих відношень; n=length(X); D=zeros(n, n); D(:,1)=Y’; for j=2:n for k=j:n D(k, j)=(D(k,j-1)-D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1)); end end С=D(n,n); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k))); m=length(C); C(m)=C(m)+D(k, k); end |
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 588 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!