Приклад розрахунку. Знайти наближений розв’язок диференціального рівняння на інтервалі [0; 3] з початковою умовою y(0)=1 й кроком за допомогою методів Ейлера і Хемінга та

Знайти наближений розв’язок диференціального рівняння на інтервалі [0; 3] з початковою умовою y( 0 )= 1 й кроком за допомогою методів Ейлера і Хемінга та зобразити розв’язок у табличному та графічному вигляді з використанням пакета Matlab. Визначити помилки методів. Порівняти наближений розв’язок диференціального рівняння з точним розв’язком та проаналізувати точність методів між собою.

Розв’язок

Скористаємося методами Ейлера і Хемінга для розв’язання заданого диференціального рівняння (задачі Коші).

У табл. 2.3 наведено значення наближеного розв’язання диференціального рівняння різними методами та їх помилок у точках, які отримані з використанням пакета Matlab та програмних блоків, що наведені в табл. 2.1 на інтервалі [0; 3] з кроком .

Таблиця 2.3 – Порівняння результатів розв’язку диференціального рівняння методами Ейлера і Хемінга

tk	Метод Ейлера	Метод Хемінга
yk	Помилка	yk	Похибка
0.0	1.0000		1.0000	0
0.5	0.7500	0.0864	0.8364	-0.2343 10-4
1.0	0.6875	0.1321	0.8196	-0.3650 10-4
1.5	0.7656	0.1515	0.9171	-0.4264 10-4
2.0	0.9492	0.1544	1.1036	0.0334 10-4
2.5	1.2119	0.1476	1.3595	-0.1022 10-4
3.0	1.5339	0.1355	1.6694	-0.1681 10-4

Рисунок 2.4 – Порівняння результатів розв’язку диференціального рівняння методом Ейлера (1) і Хемінга (2) з точним розв’язком при однаковому кроці

Рисунок 2.5 – Помилки методів Ейлера (e ₁(t)) і Хемінга (e ₂(t))

На рис. 2.4 і 2.5 наведено графіки розв’язків диференціального рівняння, які отримані за допомогою методів Ейлера і Хемінга з однаковими кроками інтеґрування та похибка кожного з них відповідно.

Порівняємо точність методів, обчисливши середньоквадратичні відхилення помилок розв’язку за формулою:

,

де – значення вибірки з N елементів;

– математичне очікування чи середнє арифметичне вибірки.

Для методу Ейлера , для Хемінга .

Таким чином, найточніший розв’язок отримано за допомогою методу Хемінга – помилка має найменше значення порівняно з помилкою методу Ейлера. При цьому точність методу Хемінга набагато перевищує точність методу Ейлера.

ЗАВДАННЯ №3