![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение. Абсолютной величиной ( или модулем) числа х называется само число , если
, число (-
), если
.
Абсолютная величина числа обозначается
. Таким образом,
, если
, и
, если
.
Из определения абсолютной величины числа вытекает ряд ее свойств.
1. . Доказательство. Если
, то
. Если
, то
, но
, т. е.
.
2. . Доказательство. Если
, то
и тогда
. Если
, то
, и тогда
.
3. . Доказательство. Если
, то
,
. Отсюда
, т. е.
. Если
, то
, откуда
. Так как
, то
, или
, откуда
, т. е.
. Поэтому
|. Получаем, что
.
Теорема 1. Пусть положительное число. Тогда неравенства
и
равносильны. ((" e, e > 0: |х| £ e) Û (- e £ х £ e)).
Доказательство. Пусть . Если
, то
, поэтому
, таким образом,
. Если
, то
, следовательно,
, откуда
. Объединяя неравенства
и
, получаем, что
,
.
Пусть . Это означает, что одновременно выполняются неравенства
и
. Из последнего неравенства следует, что
. По определению,
есть либо
, либо
, поэтому
.
Теорема 2. Абсолютная величина суммы двух чисел не больше суммы абсолютных величин этих чисел, т. е. .
Доказательство. Пусть ,
– произвольные числа. По свойству 3 для них выполняются неравенства:
,
. Поэтому, складывая эти неравенства, получаем
. По предыдущей теореме это равносильно неравенству
.
Из этой теоремы следует, что абсолютная величина разности двух чисел не больше суммы абсолютных величин этих чисел, т. е. .
Теорема 3. Абсолютная величина разности двух чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел, т. е. .
Доказательство. Для любых чисел и
:
. По предыдущей теореме
. Поэтому
.
Аналогично доказывается утверждение о том, что абсолютная величина суммы двух чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел, т. е. .
Замечание. Для любых чисел х и у имеют место легко проверяемые соотношения и
, если
. Эти соотношения предлагается доказать самостоятельно.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 568 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!