![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Сложение и умножение вещественных чисел. Для любой пары a и b вещественных чисел определены единственным образом два вещественных числа a+b и a·b, называемые соответственно их суммой и произведением. Для любых вещественных чисел a, b, c выполняются следующие свойства:
1) a + b = b + a (переместительное свойство сложения);
2) a + (b + c) = (a + b) + c (сочетательное свойство сложения);
3) a · b = b · a (переместительное свойство умножения);
4) a · (b ·c) = (a · b) · c (сочетательное свойство умножения);
5) (a + b) · c = a · c + b · c (распределительное свойство);
6) существует единственное число 0 такое, что a + 0 = 0 + a = a для любого числа a;
7) для любого числа a существует число (- a) такое, что a + (- a) = 0;
8) существует единственное число 1 ¹ 0 такое, что для любого числа a имеет место равенство a · 1 = a;
9) для любого числа a ¹ 0 существует такое число a-1, что a · a-1 =1, число a-1 обозначается также символом .
Сравнение вещественных чисел. Для любых двух вещественных чисел a и b установлено одно из соотношений: a = b (a равно b), a > b (a больше b) или a < b. Каковы бы ни были числа a, b, c, выполняются соотношения:
1) если a = b и b = с, то a = с;
2) если a > b и b > с, то a > с;
3) если a > b, то a + c > b + c;
4) если a > 0, b > 0, то a · b > 0.
Непрерывность вещественных чисел. Пусть X и Y ─ два множества, состоящих из вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел xÎ X и yÎY выполняется неравенство x ≤ y, то существует хотя бы одно число с такое, что для всех таких x и y выполняются неравенства x ≤ с ≤ y.
Свойством непрерывности обладает множество всех вещественных чисел. Однако множество только рациональных чисел таким свойством не обладает.
Теорема. Множество рациональных чисел не является непрерывным.
Доказательство. Доказывать будем «методом от противного». Пусть ,
.Тогда для
,
выполняется неравенство
, поэтому
такое, что
. Однако таким числом может быть только число
, которое не является рациональным. Пришли к противоречию. Теорема доказана.
Рассмотрим еще несколько свойств вещественных чисел, которые вытекают из сказанного. Для любых вещественных чисел a, b, c, d:
1. Число x = b + (- a) является решением уравнения a + x = b.
Доказательство. .
Определение. Число b + (- a) называется разностью чисел b и a и обозначается b – a.
2. Если b > a, то b – a > 0.
Доказательство. , тогда
или
.
3. Число x = b · a-1 является решением уравнения a · x = b, если a ¹ 0.
Доказательство. .
Определение. Число b · a-1 называется частным чисел b и a и обозначается , или b: a.
4. Если a < b, то – a > - b.
Доказательство. Так как , то
и
, следовательно,
.
5. Если a > b, c > d, то a + c > b + d.
Доказательство. , тогда
.
, следовательно,
. Таким образом,
.
6. Если a < b, c > d, то a – c <b – d. Это свойство доказывается с использованием свойств 4 и 5.
7. a – a = 0.
Доказательство. .
8. – a)
= a.
Доказательство. .
9. a · 0 = 0.
Доказательство. .
10. (- a)b = - ab.
Доказательство. .
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 1045 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!