Множества. Обозначения. Логические символы

ВЕЩЕСТВЕННЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Множества. Обозначения. Логические символы

Понятие множества является одним из основных в математике. Слова «совокупность», «семейство», «система», «набор» и т. д. – синонимы слова «множество». Множество может содержать конечное (количество студентов в аудитории) или бесконечное (количество точек на прямой) число произвольных объектов.

Определение. Объекты, из которых состоит множество, называютсяего элементами, или точками.

Множества часто обозначают большими буквами, а его элементы – маленькими. Если – элемент множества , то пишут , в противном случае ─ . Если - некоторые элементы множества , то запись означает, что множество состоит из элементов .

Пусть даны два множества и . Если и состоят из одних и тех же элементов, то говорят, что эти множества совпадают, и пишут . Если в нет элементов, не принадлежащих , то содержится в ( – подмножество множества ). В этом случае пишут , или ( содержит ). Если не содержится в , то пишут .

В математике часто используется пустое множество. Оно не содержит ни одного элемента и обозначается символом Æ. Пустое множество является подмножеством любого множества.

В математических предложениях повторяются отдельные слова и целые выражения. Поэтому для их записи используется логическая символика.

Рассмотрим несколько самых простых и наиболее употребляемых логических символов. Вместо слова «существует» или «найдется» используют символ $ (перевернутая латинская буква Е от английского слова Existence – «существование»), а вместо слов «любой», «каждый», «всякий» ─ символ " (перевернутое латинское А от английского слова Any ─ любой).

Например, запись означает, что «существует элемент из множества …». Запись означает: «для любого найдется , зависящее от и большее 0…».

Для облегчения понимания и чтения утверждений, записанных с помощью логических символов, все, что относится только к каждому из них, заключается в круглые скобки. Например, запись

читается так: «для любого существует такое, что для всех , не равных и удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .