Задачи к теме 12

Во всех задачах этой темы система координат – прямоугольная.

12.1(597). Найти косинусы углов между прямыми

и

12.2(599). Найти угол между прямой х + у – z = 0, 2 х – 3 у + z = 0 и плоскостью 3 x + 5 у – 4 z + 2 = 0.

12.3(603). Даны вершины тетраэдра А = (0, 0, 2), B = (3, 0, 5), С = (1, 1, 0) и D = (4, 1, 2). Вычислить длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

12.4(608). Составить уравнения биссекторных плоскостей двугранных углов между двумя плоскостями:

7 x + y ‑ 6 = 0, 3 x + 5 у – 4 z + 1 = 0.

12.5(611*). Внутри треугольника, высекаемого на плоскости Оху плоскостями х + 4 у + 8 z + 8 = 0, х – 2 у + 2 z + 2 = 0, 3 х + 4 у + 12 = 0, найти точку, равноудаленную от этих плоскостей.

12.6(612). Найти центр и радиус шара, вписанного в тетраэдр, ограниченный плоскостями координат и плоскостью

11 x ‑ 10 у – 2 z ‑ 57 = 0.

12.7(617). Найти расстояние от точки (1, 3, 5) до прямой

2 x + y + z ‑ 1=0, 3 x + y + 2 z ‑ 3 = 0.

12.8(618). Найти расстояние от точки (1, 2, 5) до прямой

x = t, y = 1 – 2 t, z = 3 + t.

12.9(620). Найти расстояние между двумя прямыми:

1) x = 3 + t, y = 1 ‑ t, z = 2 + 2 t и х = – t, y = 2 + 3 t, z = 3 t;

2) и

12.10(621). Найти расстояние между двумя параллельными прямыми:

и .

12.11(631*). Найти точку, симметричную точке относительно прямой .

12.12(638). Через прямую провести плоскость, перпендикулярную к плоскости .

12.13(640*). Написать уравнения общего перпендикуляра к двум прямым , при условии, что .

12.14. Определить проекцию точки на прямую в пространстве, расстояние от этой точки до прямой . Получить уравнение перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

12.15. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Построить уравнение общей нормали.