Индивидуальное задание № 23

Определите вид цилиндрической поверхности Ф, найдите уравнение ее направляющей g, направление образующих и изобразите эту поверхность, если в прямоугольной системе координат O i j k поверхность Ф задана уравнением:

1.2 y 2 – 5 z = 0. 2.3 x 2 + 4 y = 0. 3.4 x 2 – y 2 – 16 = 0. 4.2 x 2 – 3 y 2 = 0. 5.4 x 2 – y 2 + 4 = 0. 6.3 x + 5 y 2 = 0. 7. y 2 – 9 z 2 = 0. 8.– x 2 + 4 z = 0. 9. y 2 – 9 z 2 – 9 = 0. 10.2 x – z 2 = 0. 11.4 x 2 – z 2 = 0. 12. x 2 – z 2 + 5 = 0. 13.4 x 2 – 9 y 2 + 36 = 0. 14.2 x + z 2 = 0. 15. y 2 – 9 z 2 + 9 = 0.

16. y 2 + 4 z = 0. 17.9 x 2 – z 2 + 9 = 0. 18.6 x 2 – 7 z 2 = 0. 19.4 z + x 2 = 0. 20. x 2 – 9 z 2 - 9 = 0. 21.2 x + 5 y 2 = 0. 22. x 2 – z 2 - 5 = 0. 23. x 2 + z = 0. 24.8 x + z 2 = 0. 25.3 x 2 – 8 y 2 = 0. 26.9 x 2 – z 2 + 1 = 0. 27. x 2 – y 2 - 4 = 0. 28. x 2 – 4 z 2 = 0. 29. y 2 – z 2 + 2 = 0. 30.9 y 2 – z 2 = 0.

Вариант 31

Ф: .

Решение. Приведем уравнение поверхности Ф к каноническому виду:

Следовательно, Ф – эллиптический цилиндр. Его направляющая g задается уравнением g: (она лежит в плоскости Охz), а образующие параллельны координатному вектору j. Поверхность Ф изображена на рис. 26.

Рис. 26

Индивидуальное задание № 24

Определите вид поверхности и постройте ее изображение:

1.9 x 2 + 16 y 2 + 144 z = 0. 2.2 x 2 - 3 y 2 - 12 z = 0. 3.9 x 2 + 16 y 2 – 36 z 2 - 36 = 0. 4. x 2 + y 2 + 3 z = 0. 5.3 x 2 - 4 y 2 - 3 z = 0. 6.2 x 2 - y 2 + 8 z 2 - 8 = 0. 7. x 2 - 4 y 2 - 4 z = 0. 8.6 x 2 - 6 y 2 – 24 z 2 + 24 = 0. 9.2 x - y 2 + z 2 = 0. 10. x 2 - 4 y - 4 z 2 = 0. 11.4 x - y 2 + 4 z 2 = 0. 12.4 x 2 - 9 y 2 + 36 z 2 - 36 = 0. 13.- x 2 + y 2 - z 2 + 1 = 0. 14. - 2 y 2 - 2 z 2 - 2 = 0. 15.6 x + y 2 - z 2 = 0. 16.3 x 2 - y 2 + 3 z 2 + 3 = 0.

17.- x 2 + 4 y 2 - 16 z + 16 = 0. 18. x 2 + 2 y - z 2 = 0. 19. x 2 - y 2 - z 2 - 4 = 0. 20. x 2 - y 2 - z = 0. 21.3 z - 3 x 2 + y 2 = 0. 22.- x 2 + 2 y + z 2 = 0. 23. + = y 2 + 2. 24. y 2 + 2 z 2 + 6 x = 0. 25. x 2 - y 2 - 3 z 2 + 6 = 0. 26. + = . 27.4 x 2 - 3 y 2 - 12 z = 0. 28. x 2 + 2 y 2 + 2 z = 0. 29. + = . 30.9 y 2 - x 2 + 18 z = 0.

Вариант 31

Ф:8 x + 4 y ² – z ² = 0.

Решение. Приведем уравнение поверхности Ф к каноническому виду. Для этого перенесем 8 х в правую часть и разделим обе части на 4:

4 у ² – z ² = - 8 x; y ² - = -2 x.

Следовательно, данная поверхность является гиперболическим параболоидом с осью Ох. Он расположен в том полупространстве, ограниченном плоскостью Oyz, которое определяется условием х £ 0.

Чтобы изобразить данный гиперболический параболоид, найдем линии пересечения этой поверхности с координатными плоскостями.

Пусть g ₁ = Ф Ç Oyz, g ₂ = Ф Ç Oxz и g ₃ = Ф Ç Oxy.

g ₁: g ₁:

Следовательно, g ₁ – пара пересекающихся прямых

g ₂: g ₂:

Следовательно g ₂ – парабола с осью Ох. Она проходит через точки М ₁(; 0; 2); М ₁^/(; 0; -2); М ₂ (2; 0; 4); М ₂^/ (2; 0; - 4).

g ₃: g ₃:

Следовательно g ₃ – парабола с осью Ох. Она проходит через точки К ₁(- ;1; 0);

К ₁^/(- ;-1; 0); К ₂ (-2; 2; 0); К ₂^/ (-2; -2; 0).

Порядок построения изображения поверхности Ф таков: сначала изображаем прямоугольную систему координат O i j k (Oxyz), затем линии g₂, g₃, g₁ и, наконец, изображаем саму поверхность Ф (рис. 27).