Индивидуальное задание № 20

С помощью переноса начала координат приведите общее уравнение линии второго порядка к каноническому виду, найдите формулы переноса начала и изобразите данную линию:

1.4 х 2 – у 2 – 4 х – 6 у – 4 = 0. 2.2 х 2 – 8 х + 4 у + 9 = 0. 3. х 2 – 2 у 2 + 2 х + 20 у – 47 = 0. 4.4 х 2 + 9 у 2 – 8 х – 32 = 0. 5. х 2 – 6 х – 4 у + 5 = 0. 6. х 2 – 4 у 2 – 4 х – 8 у – 4 = 0. 7. х 2 + у 2 – 2 х + 6 у + 9 = 0. 8. у 2 – 2 х – 10 = 0. 9. х 2 + 6 у 2 – 6 х + 12 у + 13 = 0. 10.4 х 2 – 9 у 2 – 8 х – 32 = 0. 11. у 2 – 3 х + 4 у + 1 = 0. 12. х 2 – у 2 + 2 х – 4 у + 6 = 0. 13.6 х 2 + у 2 + 12 х – 6 у + 13 = 0. 14.2 у 2 + 4 х – 8 у + 9 = 0. 15.2 х 2 – у 2 – 20 х – 2 у + 47 = 0.

16.9 х 2 + 4 у 2 – 8 у – 32 = 0. 17. у 2 – 4 х – 6 у + 5 = 0. 18.4 х 2 – у 2 + 8 х + 4 у + 4 = 0. 19. х 2 + у 2 + 6 х – 2 у + 9 = 0. 20. х 2 – 2 у – 10 = 0. 21.4 х 2 + 9 у 2 – 40 х + 36 у + 100 = 0. 22.9 х 2 – 4 у 2 + 8 у + 32 = 0. 23. х 2 + 4 х – 3 у + 1 = 0. 24. х 2 – у 2 + 4 х – 2 у – 6 = 0. 25.3 х 2 – 6 х + 2 у – 5 = 0. 26.2 х 2 – 4 х + 5 у – 3 = 0. 27.6 х + у 2 – 2 у – 11 = 0. 28.9 х 2 + 4 у 2 + 18 х – 8 у – 23 = 0. 29.3 х – 4 у 2 + 18 = 0. 30.9 х 2 + у 2 + 18 х – 2 у + 1 = 0.

Вариант 31

2 х - 3 у ² – 3 у = 0.

Решение. Выделим полный квадрат при у: 2 х – 3(у² + у) = 0;

2 х - 3(у² + 2 ) + = 0; . Далее вынесем за скобки, содержащие х, множитель 2: Положим Х = , Y = . Тогда формулы переноса начала данной системы координат O i j будут иметь вид:

Следовательно, начало О ^/ новой системы координат O ^/ i j имеет в системе O i j следующие координаты: О ^/ .

Тогда данная линия в новой системе O ^/ i j будет задаваться уравнением:

2 Х - 3 Y ² = 0.

Приводя это уравнение к каноническому виду, получим:

Y ² = X.

Следовательно, данная линия является параболой с осью O^/Х и фокальным параметром р = .

Чтобы изобразить эту параболу, построим сначала систему координат O i j, в которой дано ее общее уравнение (рис. 24). Затем строим систему координат O ^/ i j, полученную из системы O i j переносом начала в точку О ^/ (рис. 24).

Далее по каноническому уравнению Y ² = X в системе O ^/ i j (т.е. О^/ХY) строим параболу. Для этого находим и строим четыре вспомогательные точки параболы: М ₁(;1); М ₁^/(; -1); М ₂ (; ); М ₂^/ (; - ). Через точки O ^/, М ₁, М ₁^/, М ₂, М₂^/ проводим параболу (рис. 24).