Индивидуальное задание № 11

Найдите и постройте множество таких точек М плоскости, что:

1. АМ ² – ВМ ² = 1, где А и В – данные точки, причем АВ = 2.

2. АМ ² + DМ ² = ВМ ² + СМ ², где АВСD – ромб, диагонали которого равны 2 и 4.

3. АМ ² + ВМ ² = 50, где А и В – данные точки, причем АВ = 6.

4. Точки М – середины всех хорд данной окружности радиуса r = 8, проведенных из одной и той же точки этой окружности.

5. Сумма расстояний от М до двух данных параллельных прямых равна 5, причем расстояние между данными прямыми равно 2.

6. Разность расстояний от М до двух данных параллельных прямых равна 1, причем расстояние между данными прямыми равно 2.

7. АМ ² - ВМ ² = 4, где А и В – данные точки, причем АВ = 2.

8. АМ ² + DМ ² = ВМ ² + СМ ², где АВСD – ромб, диагонали которого равны 4 и 6.

9. АМ ² + ВМ ² = 20, где А и В – данные точки, причем АВ = 2.

10. Точки М – середины всех хорд данной окружности радиуса r = 4, проведенных из одной и той же точки этой окружности.

11. Сумма расстояний от М до двух данных параллельных прямых равна 6, причем расстояние между данными прямыми равно 2.

12. Разность расстояний от М до двух данных параллельных прямых равна , причем расстояние между данными прямыми равно 2.

13. АМ ² - ВМ ² = -3, где А и В – данные точки, причем АВ = 2.

14. АМ ² + DМ ² = ВМ ² + СМ ², где АВСD – ромб, диагонали которого равны 2 и 6.

15. АМ ² + ВМ ² = 10, где А и В – данные точки, причем АВ = 4.

16. Точки М – середины всех хорд данной окружности радиуса r = 2, проведенных из одной и той же точки этой окружности.

17. Сумма расстояний от М до двух данных параллельных прямых равна 3, причем расстояние между данными прямыми равно 2.

18. Разность расстояний от М до двух данных параллельных прямых равна , причем расстояние между данными прямыми равно 2.

19. АМ ² - ВМ ² = -8, где А и В – данные точки, причем АВ = 2.

20. АМ ² + DМ ² = ВМ ² + СМ ², где АВСD – ромб, диагонали которого равны 10 и 4.

21. АМ ² + ВМ ² = 26, где А и В – данные точки, причем АВ = 6.

22. Точки М – середины всех хорд данной окружности радиуса r = 6, проведенных из одной и той же точки этой окружности.

23. Сумма расстояний от М до двух данных параллельных прямых равна 7, причем расстояние между данными прямыми равно 2.

24. Разность расстояний от М до двух данных параллельных прямых равна , причем расстояние между данными прямыми равно 2.

25. АМ ² - ВМ ² = 8, где А и В – данные точки, причем АВ = 2.

26. АМ ² + DМ ² = ВМ ² + СМ ², где АВСD – ромб, диагонали которого равны 6 и 10.

27. АМ ² + ВМ ² = 20, где А и В – данные точки, причем АВ = 6.

28. Точки М – середины всех хорд данной окружности радиуса r = 10, проведенных из одной и той же точки этой окружности.

29. Сумма расстояний от М до двух данных параллельных прямых равна 4, причем расстояние между данными прямыми равно 2.

30. Разность расстояний от М до двух данных параллельных прямых равна 1, причем расстояние между данными прямыми равно 2.

Вариант № 31

Найдите и постройте множество точек М плоскости, каждая из которых видна из концов данного отрезка АВ под прямым углом.

Решение: На плоскости дан отрезок АВ. Выберем прямоугольную систему координат О i j так, чтобы точка О была серединой отрезка АВ, i был сонаправлен с вектором ОВ (рис.13). Пусть АВ = 2 а. Тогда в системе координат О i j точки А и В будут иметь такие координаты: А (- а; 0), В (а; 0).

Если точка М (х; у) принадлежит искомому множеству точек, то Ð АМВ = 90⁰, т.е. МА × МВ = 0.

МА = (- а – х; 0 - у) = (- а – х; - у); МВ = (а – х; 0 - у) = (а – х; -у).

МА × МВ = (- а – х)(а – х) + (- у)(- у) = - а ² + х ² + у ². Получаем уравнение:

х ² + у ² = а ². (1)

Итак, если точка М принадлежит искомому множеству, то ее координаты удовлетворяют уравнению (1).

Обратно, если точка М не принадлежит искомому множеству, то МА × МВ ¹ 0, следовательно, ее координаты не удовлетворяют уравнению (1).

Таким образом, искомое множество точек задается уравнением х 2 + у 2 = а 2, т.е. является окружностью, построенной на данном отрезке АВ как на диаметре (центр ее находится в середине отрезка АВ, радиус равен ). Искомое множество точек изображено на рис.14. Ответ: окружность, построенная на АВ как на диаметре.

М