Индивидуальное задание № 9

В параллелограмме АВСD О - точка пересечения диагоналей, М, К, Р и Н – середины сторон АВ, ВС, СD и DА соответственно. Найдите формулы преобразования координат при переходе от старой системы координат к новой, если:

1. К, КМ, КР – старая система, С, СА, СН – новая.

2. М, МН, МР – старая система, В, ВА, ВD – новая.

3. А, АР, АК – старая система, О, ОР, ОК – новая.

4. А, АD, АК – старая система, В, ВН, ВР – новая.

5. К, КА, КD – старая система, М, МС, МD – новая.

6. М, МС, МD – старая система, А, АВ, АО – новая.

7. А, АВ, АО – старая система, С, СМ, СН – новая.

8. А, АО, АН – старая система, Р, РD, РВ – новая.

9. Р, РD, РВ – старая система, К, КА, КВ – новая.

10. О, ОМ, ОВ – старая система, С, СН, СР – новая.

11. О, ОD, ОС – старая система, К, КА, КМ – новая.

12. С, СО, СD – старая система, Н, НВ, НМ – новая.

13. Н, НВ, НМ – старая система, С, СА, СК – новая.

14. Р, РН, РВ – старая система, D, DА, DС – новая.

15. О, ОК, ОМ – старая система, С, СН, СО – новая.

16. О, ОD, ОМ – старая система, В, ВР, ВА – новая.

17. О, ОС, ОР – старая система, В, ВН, ВМ – новая.

18. Р, РD, РК – старая система, А, АО, АК – новая.

19. А, АК, АВ – старая система, Р, РО, РК – новая.

20. В, ВМ, ВD – старая система, Р, РВ, РН – новая.

21. М, МD, МР – старая система, С, СА, СD – новая.

22. Р, РВ, РО – старая система, А, АК, АМ – новая.

23. В, ВО, ВА – старая система, Р, РК, РО – новая.

24. D, DА, DК – старая система, М, МО, МН – новая.

25. D, DО, DС – старая система, А, АК, АН – новая.

26. D, DР, DМ – старая система, К, КА, КМ – новая.

27. D, DР, DВ – старая система, Н, НА, НВ – новая.

28. В, ВН, ВА – старая система, D, DО, DА – новая.

29. Н, НА, НС – старая система, Р, РD, РК – новая.

30. К, КО, КD – старая система, А, АD, АО – новая.

Вариант 31

О, ОА, ОМ – старая система, К, КD, КР – новая.

Решение. Выделим на чертеже разными цветами старую и новую системы координат (рис.11). Чтобы записать формулы преобразования координат, найдем координаты нового начала К и новых координатных векторов КD и КР в старой системе координат О, ОА, ОМ.

Для нахождения координат точки К в системе О, ОА, ОМ найдем координаты ее радиус-вектора ОК в этой системе: ОК = АМ = ОМ – ОА = - ОА + ОМ = = (-1; 1) Þ К (-1; 1).

Найдем координаты векторов КD и КР: КD = СD – СК = СD – СВ; КР = СР – СК = СD - СВ. Выразим теперь векторы СВ и СD через координатные векторы ОА и ОМ: СВ = 2 ОМ, СD = 2 МА = 2(ОА - ОМ) = 2 ОА – 2 ОМ.

Тогда КD = 2 ОА – 2 ОМ - 2 ОМ = 2 ОА – 3 ОМ = (2; -3);

КР = (2 ОА - 2 ОМ) - 2 ОМ = ОА – ОМ – ОМ = ОА – 2 ОМ = (1; -2).

Формулы преобразования координат будут иметь вид:

Ответ: