Индивидуальное задание № 7

Дан куб АВСDА ₁ В ₁ С ₁ D ₁ с ребром, равным а, Р – точка пересечения диагоналей куба (центр куба), О и О ₁ – центры нижнего и верхнего оснований соответственно. Найдите расстояние между точками М и N, если:

1. М Î АО₁, АМ: АО₁ = 2: 3; N Î РС, РN: РС = 1: 4.

2. М Î DВ₁, DМ: DВ₁ = 1: 2; N Î D₁С, D₁N: D₁С = 1: 3.

3. М Î АО₁, АМ: АО₁ = 2: 3; N Î ОС, ОN: ОС = 1: 2.

4. М Î DР, DМ: DР = 1: 3; N Î В₁С, В₁N: В₁С = 2: 3.

5. М Î А₁О₁, А₁М: А₁О₁ = 2: 3; N Î СР, СN: СР = 1: 4.

6. М Î ВD₁, ВМ: ВD₁ = 1: 4; N Î О₁С, О₁N: О₁С = 1: 2.

7. М Î А₁С, А₁М: А₁С = 1: 3; N Î С₁D, С₁N: С₁D = 2: 3.

8. М Î О₁В₁, О₁М: О₁В₁ = 3: 4; N Î А₁С, А₁N: А₁С = 2: 3.

9. М Î СА₁, СМ: СА₁ = 1: 5; N Î ВD, ВN: ВD = 1: 2.

10. М Î СР, СМ: СР = 1: 2; N Î ВО₁, ВN: ВО₁ = 1: 4.

11. М Î DА₁, DМ: DА₁ = 3: 4; N Î В₁С, В₁N: В₁С = 1: 2.

12. М Î ОD, ОМ: ОD = 1: 3; N Î ВС₁, ВN: ВС₁ = 4: 5.

13. М Î ВО, ВМ: ВО = 2: 3; N Î А₁С, А₁N: А₁С = 1: 5.

14. М Î А₁D, А₁М: А₁D = 4: 5; N Î ОС₁, ОN: ОС₁ = 1: 2.

15. М Î DС₁, DМ: DС₁ = 3: 5; N Î А₁С₁, А₁N: А₁С₁ = 1: 3.

16. М Î DО₁, DМ: DО₁ = 2: 5; N Î С₁О, С₁N: С₁О = 1: 2.

17. М Î ВР, РМ: ВР = 2: 3; N Î СА₁, СN: СА₁ = 2: 5.

18. М Î АР, АМ: АР = 1: 3; N Î СО₁, СN: СО₁ = 2: 5.

19. М Î РВ, РМ: РВ = 3: 4; N Î СD₁, СN: СD₁ = 1: 2.

20. М Î DВ₁, DМ: DВ₁ = 2: 5; N Î СР, СN: СР = 1: 4.

21. М Î ОВ₁, ОМ: ОВ₁ = 1: 5; N Î О₁С, О₁N: О₁С = 3: 4.

22. М Î А₁С, А₁М: А₁С = 2: 3; N Î ОD₁, ОN: ОD₁ = 4: 5.

23. М Î А₁Р, А₁М: А₁Р = 1: 3; N Î ВС₁, ВN: ВС₁ = 2: 5.

24. М Î ВD, ВМ: ВD = 1: 4; N Î DС, DN: DС = 2: 3.

25. М Î В₁D₁, В₁М: В₁D₁ = 2: 5; N Î РС, РN: РС = 1: 2.

26. М Î А₁Р, А₁М: А₁Р = 3: 4; N Î DС, DN: DС = 2: 3.

27. М Î АО₁, АМ: АО₁ = 1: 3; N Î В₁С, В₁N: В₁С = 4: 5.

28. М Î D₁В, D₁М: D₁В = 3: 5; N Î DС₁, DN: DС₁ = 1: 2.

29. М Î РА₁, АМ: РА₁ = 2: 5; N Î ОС, ОN: ОС = 1: 3.

30. М Î А₁D, А₁М: А₁D = 1: 4; N Î ВО₁, ВN: ВО₁ = 2: 3.

Вариант 31

М Î РD, DМ: РD = 3: 7; N Î СD₁, СN: СD₁ = 4: 5.

Решение. Выберем прямоугольную систему координат А i j k, где вектор i сонаправлен с вектором АВ, j - с АД и k - с АА ₁ (рис. 9).

Найдем координаты точек D, В 1, С, D 1 и середины Р отрезка В 1 D: D (0; а; 0), В 1(а; 0; а), С (а; а; 0), D 1(0; а; а), Р , т.е. Р . Найдем отношение l, в котором точка М делит направленный отрезок РD: так как РМ: МD = 4: 3 и М лежит между Р и D, то РМ = МD, откуда l = .

Аналогично находим отношение m, в котором точка N делит направленный отрезок СD ₁: так как СN: ND ₁ = 4: 1 и N лежит между С и D ₁, то СN = 4 ND ₁, откуда m = 4. По формулам деления отрезка в данном отношении находим координаты точек М и N:

Далее применяем формулу расстояния между двумя точками в координатах:

Ответ: MN =