Индивидуальное задание № 6

На плоскости дан отрезок МР. Точки А, В, С, D, Е, Н лежат внутри этого отрезка так, что МА = АВ = ВС = СD = DЕ = ЕН = НР (рис.6). Найдите двумя способами простое отношение трех точек:

А В С D Е Н

1.(ВМ, Р). 2.(РС, М). 3.(АМ, D). 4.(ЕМ, Н). 5.(ЕР, А). 6.(DМ, Р). 7.(СВ, Р). 8.(РD, В). 9.(НМ, Р). 10.(РЕ, В).

11.(СМ, Р). 12.(РВ, А). 13.(МЕ, Р). 14.(DР, В). 15.(АМ, Р). 16.(НР, С). 17.(МВ, Р). 18.(СМ, Е). 19.(СМ, D). 20.(DМ, Е).

21.(МD, Р). 22.(НР, М). 23.(МА, Р). 24.(DА, Н). 25.(МС, Р). 26.(НD, А). 27.(РН, С). 28.(СН, А). 29.(РН, В). 30.(СА, Н).

Вариант 31

Найдите двумя способами простое отношение трех точек λ = (DС, Н).

Решение. I способ: по определению DН = λ ּ НС. Так как вектор DН противоположно направлен вектору НС (см. рис.7), то λ < 0.

М А В С D Е Н Р

| DН | = | λ |ּ| НС |. По чертежу (рис.7) находим, что , следовательно, длина вектора DН составляет длины вектора НС, т.е. | DН | = ּ | НС | | λ | = , а т.к. λ < 0, то λ = - .

Ответ: (DС, Н) = - .

II способ: выберем на плоскости аффинную систему координат М, е ₁, е ₂, где е ₁ = МА (рис.8).

е₂

М е₁ А В С D Е Н Р

Найдем координаты точек D, С и Н в этой системе: D (4; 0), С (3; 0), Н (6; 0).

По формулам деления отрезка в данном отношении в координатах имеем: х_Н = , т.е. 6 = , откуда λ = - . По чертежу проверяем векторное равенство DН = - НС.

Ответ: (DС, Н) = - .