![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Главными площадками называются такие взаимно перпендикулярные площадки, по которым действуют наибольшие и наименьшие нормальные напряжения, а касательные напряжения равны нулю. Напряжения, действующие по этим площадкам называются главными.
Для нахождения угла наклона главных площадок нужно найти максимум и минимум нормальных напряжений. Для этого возьмем первую производную от выражения (10.1) и приравняем ее к нулю:
,(11.1)
. (11.2)
После деления каждого члена уравнения на получим:
(11.3)
откуда . (11.4)
Учитывая, что , получим:
. (11.5)
Полученные формулы(11.5), (11.4) дают возможность определить угол наклона главных площадок – α.
Если α получится положительным, его следует отложить против часовой стрелки; и наоборот, если αотрицательный - по часовой стрелке.
Так как угол 2 отличается от другого значения на 180°, то α будет отличаться на 90°. Отсюда следует, что главные площадки взаимно перпендикулярны.
Подставив выражение (11.4) в (10.1), будем иметь формулу для определения величины главных напряжений:
. (11.6)
Как исходные нормальные напряжения σx, σy, так и главные считаются положительными, если они растягивающие и, наоборот, отрицательными, если они являются сжимающими.
За положительное касательное напряжение τxy принимается такое, которое может осуществить вращение по часовой стрелке, и, наоборот, против часовой стрелки - считается отрицательным.
Докажем, что в главных площадках касательные напряжения равны нулю. Для этого умножим все члены уравнения (11.2) на :
Полученное выражение для касательных напряжений равно нулю, что и требовалось доказать (см. 10.3).
Различают три вида напряженных состояний
1. Объемное - когда все три главных напряжения отличны от нуля (рис.14в).
2. Плоское - когда одно из главных напряжений равно нулю (рис. 14б).
3. Линейное - когда два главных напряжения равны нулю (рис. 14а).
Главные напряжения обозначают через σ1, σ2, σ3. Рассматривая их
в порядке убывания, будем иметь: . При линейном напряженном состоянии единственное отличное от нуля главное напряжение обозначится либо через σ1, если оно положительно (тогда σ2=0; σ3=0), либо через σ3, если оно отрицательно (тогда σ1=0; σ2=0). При плоском напряженном состоянии два отличных от нуля главных напряжения обозначаются либо через σ1 и σ2, если оба положительны (σ3=0), либо через σ2 и σ3, если оба отрицательны (σ1=0), либо через σ1 и σ3, если они разнозначны (σ2=0).
Деформации в направлении глазных напряжений - главные деформации в данной точке - определяются на основе обобщенного закона Гука:
, (11.7)
, (11.8)
, (11.9)
где μ - коэффициент Пуассона.
В частных случаях приведенные формулы упрощаются. Так, для линейного напряженного состояния с σ1>0; σ2= σ3=0:
;
В случае, когда напряженное состояние во всех точках тела одинаково, такое напряженное состояние называется однородным.
Обобщенный закон Гука относительно главных напряжений, для плоского напряженного состояния имеет вид:
;
Относительная объемная деформация вычисляется по одной из формул:
;
. (11.10)
Напряжения на наклонных площадках вычисляются по формулам:
при плоском напряженном состоянии:
(11.11)
при линейном напряженном состоянии:
,;
, (11.12)
где ;
- соответственно нормальное и касательное напряжение в наклонной площадке, проведенной под углом α.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 1811 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!