Обобщенный закон Гука

Главными площадками называются такие взаимно перпендикулярные площадки, по которым действуют наибольшие и наименьшие нормальные напряжения, а касательные напряжения равны нулю. Напряжения, действующие по этим площадкам называются главными.

Для нахождения угла наклона главных площадок нужно найти максимум и мини­мум нормальных напряжений. Для этого возьмем первую производную от выражения (10.1) и приравняем ее к нулю:

,(11.1)

. (11.2)

После деления каждого члена уравнения на получим:

(11.3)

откуда . (11.4)

Учитывая, что , получим:

. (11.5)

Полученные формулы(11.5), (11.4) дают возможность определить угол наклона главных площадок – α.

Если α получится положительным, его следует отложить против часовой стрелки; и наоборот, если αотрицательный - по часовой стрелке.

Так как угол 2 отличается от другого значения на 180°, то α будет отличаться на 90°. Отсюда следует, что главные площадки взаимно перпендику­лярны.

Подставив выражение (11.4) в (10.1), будем иметь формулу для определе­ния величины главных напряжений:

. (11.6)

Как исходные нормальные напряжения σ_x, σ_y, так и главные считаются по­ложительными, если они растягивающие и, наоборот, отрицательными, если они являются сжимающими.

За положительное касательное напряжение τ_xy принимается такое, кото­рое может осуществить вращение по часовой стрелке, и, наоборот, против часовой стрелки - считается отрицательным.

Докажем, что в главных площадках касательные напряжения равны нулю. Для этого умножим все члены уравнения (11.2) на :

Полученное выражение для касательных напряжений равно нулю, что и требо­валось доказать (см. 10.3).

Различают три вида напряженных состояний

1. Объемное - когда все три главных напряжения отличны от нуля (рис.14в).

2. Плоское - когда одно из главных напряжений равно нулю (рис. 14б).

3. Линейное - когда два главных напряжения равны нулю (рис. 14а).

Главные напряжения обозначают через σ₁, σ₂, σ₃. Рассматривая их
в порядке убывания, будем иметь: . При линейном напряженном состоянии единственное отличное от нуля главное напряжение обозначится либо через σ₁, если оно положительно (тогда σ₂=0; σ₃=0), либо через σ₃, если оно отрицательно (тогда σ₁=0; σ₂=0). При плоском напряженном состоянии два отличных от нуля главных напряжения обозначаются либо через σ₁ и σ₂, если оба положительны (σ₃=0), либо через σ₂ и σ₃, если оба отрицательны (σ₁=0), либо через σ₁ и σ₃, если они разнозначны (σ₂=0).

Деформации в направлении глазных напряжений - главные деформации в дан­ной точке - определяются на основе обобщенного закона Гука:

, (11.7)

, (11.8)

, (11.9)

где μ - коэффициент Пуассона.

В частных случаях приведенные формулы упрощаются. Так, для линейного на­пряженного состояния с σ₁>0; σ₂= σ₃=0:

;

В случае, когда напряженное состояние во всех точках тела одинаково, та­кое напряженное состояние называется однородным.

Обобщенный закон Гука относительно главных напряжений, для плоского на­пряженного состояния имеет вид:

;

Относительная объемная деформация вычисляется по одной из формул:

;

. (11.10)

Напряжения на наклонных площадках вычисляются по формулам:

при плоском напряженном состоянии:

(11.11)

при линейном напряженном состоянии:

,; , (11.12)

где ; - соответственно нормальное и касательное напряжение в наклонной площадке, проведенной под углом α.