Типы шкал и виды шкальных преобразований

Наиболее общая классификация измерительных шкал предложена С. Стивенсом. В ее основу положен признак метрической детерминированности. Согласно этому признаку шкалы делятся на неметрические (номинативные, шкалы порядка) и метрические (интервальные, шкалы отношений). Типы шкал обусловливаются видом функции f, осуществляющей допустимые преобразования Y = f (ср). Если f – монотонная функция, то соответствующая шкала является шкалой порядка; если f – линейная функция, то соответствующая шкала – это шкала интервалов; если f определяет преобразование подобия, то соответствующая шкала – шкала отношений.

Номинативная шкала (номинальная или шкала наименований) (от лат. nomen – имя, название) – это шкала, классифицирующая по названию и устанавливающая соответствие признака тому или иному классу. Название же не измеряется количественно, оно лишь позволяет отличить один объект от другого или одного субъекта от другого. Пример номинативной шкалы – дихотомическая шкала, состоящая всего из двух ячеек, например: “мужчина/женщина”, “имеет братьев и сестер – единственный ребенок в семье”; “иностранец – соотечественник”; “проголо-совал “за” – проголосовал “против” и т.п. Признак, который измеряется по дихотомической шкале наименований, называется альтернативным. Он может принимать всего два значения.

Такая шкала – это способ классификации объектов или субъектов, распределения их по ячейкам классификации. Иными словами, объекты или субъекты сравниваются друг с другом и определяется их эквивалентность-неэквивалентность. В результате данной процедуры образуется совокупность классов эквивалентности. Объекты или субъекты, принадлежащие к одному классу, эквивалентны друг другу и отличны от объектов или субъектов, относящихся к другим классам. Эквивалентным объектам или субъектам присваиваются одинаковые имена.

Более сложный вариант номинативной шкалы – классификация из трех и более ячеек, например: “экстрапунитивные – интрапунитивные – импунитивные реакции” или “выбор кандидатуры А – кандидатуры Б – кандидатуры В – кандидатуры Г”, или “старший – средний – младший – единственный ребенок в семье” и др.

Расклассифицировав все объекты, реакции или всех испытуемых по ячейкам классификации, мы получаем возможность от наименований перейти к числам, подсчитав количество наблюдений в каждой из ячеек. Таким образом, номинативная шкала позволяет нам подсчитывать частоты встречаемости разных “наименований”, или значений признака, и затем работать с этими частотами с помощью математических методов.

О шкале наименований можно говорить в том случае, когда эмпирические объекты просто “помечаются” числом. Примером таких пометок являются номера на майках футболистов: цифру “1” по традиции получает вратарь, и это указывает на то, что по своей функции он отличен от всех остальных игроков; но его функция на футбольном поле эквивалентна функции других вратарей, если не учитывать качество игры.

Вместо чисел при использовании шкалы наименований можно применять другие символы, ибо числовая шкала (натуральный ряд чисел) характеризуется разными системами операций. Итак, если объекты в каком-то отношении эквивалентны, то мы имеем право отнести их к одному классу. Главное здесь не приписывать один и тот же символ разным классам или разные символы одному и тому же классу.

Возможными операциями с числами для номинативной шкалы являются следующие:

– нахождение частот распределения по пунктам шкалы с помощью процентирования или в натуральных единицах;

– поиск средней тенденции по модальной частоте (модальной (М _о) называют группу с наибольшей численностью);

– установление взаимосвязи между рядами свойств, расположенных неупорядоченно (с этой целью составляются специальные таблицы, посредством которых, помимо простой процентовки в них можно подсчитать критерий сопряженности признаков по Пирсону (Х ²)).

Любая шкала есть идеализация, модель реальности, даже такая простейшая, как шкала наименований. При выстраивании шкал на объектах должны быть реализованы отношения:

– симметрии R (Х = Y), а R (Y = X);

– транзитивности R (X = Y, Y = Z), а R (X = Z).

Но на множестве результатов психологических экспериментов эти условия могут нарушаться. Кроме того, многократное повторение эксперимента (накопление статистики) приводит к “перемешиванию” состава классов, в лучшем случае мы можем получить оценку, указывающую на вероятность принадлежности объекта к классу. В таких случаях ведут речь о менее “строгих”
с эмпирической, но не с математической точки зрения разновидностях шкал, к которым относятся:

– шкалы, основанные на отношениях толерантности;

– шкалы “размытой” классификации и т.п.

Разновидностью шкалы наименований является дихотомическая шкала – это шкала классификации, рассматривающаяся как вариант шкалы наименований в случае, когда мы измеряем свойство, имеющее всего лишь два уровня выраженности: “есть-нет”, так называемое “точечное” свойство. Примеров таких свойств много: наличие или отсутствие у испытуемого какой-либо наследственной болезни (дальтонизм, болезнь Дауна, гемофилия и др.), абсолютного слуха и др. В этом случае исследователь имеет право проводить “оцифровку” данных, присваивая каждому из типов цифру “1” или “0”, и работать с ними как со значениями шкалы интервалов.

Таким образом, нет оснований говорить о шкале наименований как о простейшей шкале, начальном уровне измерения в психологии.

Не верно утверждать, что шкала наименований различает предметы по проявлению свойства, но не различает их по уровню проявления этого свойства. Шкала наименований вообще не основана на понятии “свойство” (которое вводится, лишь начиная со шкалы порядка), а базируется на представлении о “типе” – множестве эквивалентных объектов. Для того чтобы ввести понятие “свойство”, требуется ввести отношения не между объектами, а между классами (типами) эквивалентных объектов (которые, конечно, могут содержать всего лишь один объект).

Порядковая шкала (шкала порядка или ординарная шкала) – это шкала, классифицирующая по принципу “больше – меньше”. Здесь субъекты могут быть ранжированы, например, по весу или росту. В порядковой шкале должно быть не менее трех классов, например, “положительная реакция – нейтральная реакция – отрицательная реакция” или “подходит для занятия вакантной должности – подходит с оговорками – не подходит”.

В порядковой шкале мы не знаем истинного расстояния между классами, а знаем лишь, что они образуют последовательность. Например, классы “подходит для занятия вакантной должности” и “подходит с оговорками” могут быть реально ближе друг к другу, чем класс “подходит с оговорками” к классу “не подходит”.

От классов легко перейти к числам, если мы условимся считать, что низший класс получает ранг 1, средний класс – 2, а высший – ранг 3, или наоборот. Например, мы можем легко оценить различия между двумя выборками испытуемых по преобладанию у них более высоких или более низких рангов или подсчитать коэффициент ранговой корреляции между двумя переменными, измеренными в порядковой шкале, допустим, между оценками профессиональной компетентности руководителя, данными ему разными экспертами.

Все психологические методы, использующие ранжирование, построены на применении шкалы порядка. Если испытуемому предлагается упорядочить 18 ценностей по степени их значимости для него, проранжировать список личностных качеств социального работника или 10 претен-дентов на эту должность по степени их профессиональной пригодности, то во всех этих случаях испытуемый совершает так называемое принудительное ранжирование, т.е. ранжирование, при котором количество рангов соответствует количеству ранжируемых субъектов или объектов (ценностей, качеств и т.п.).

Однако если у нас имеется всего 3 возможных класса и, следовательно, 3 ранга, и при этом, скажем, 20 ранжируемых испытуемых, то некоторые из них неизбежно получат одинаковые ранги. Все многообразие жизни не может уместиться в 3 градации, поэтому в один и тот же класс могут попасть люди, достаточно серьезно различающиеся между собой.

С другой стороны, принудительное ранжирование может искусственно преувеличивать различия между людьми. Кроме того, данные, полученные в разных группах, могут изначально различаться по уровню развития исследуемого качества, и испытуемый, получивший в одной группе высший ранг, в другой получил бы всего лишь средний.

Выход из положения может быть найден, если задавать достаточно дробную классифика-ционную систему, скажем, из 10 классов, или градаций признака. В сущности, подавляющее большинство психологических методик, использующих экспертную оценку, построено на измерении одним и тем же “аршином” из 10, 20 или даже 100 градаций разных испытуемых в разных выборках.

Итак, единица измерения в шкале порядка – расстояние в один класс или в один ранг, при этом расстояние между классами и рангами может быть разным (оно нам неизвестно).

При операциях с числами порядковой шкалы необходимо помнить, что интервалы в шкале не равны, поэтому числа обозначают лишь порядок следования признаков. И операции с числами – это операции с рангами, но не с количественным выражением свойств в каждом пункте.

Числа поддаются монотонным преобразованиям: их можно заменять другими с сохранением прежнего порядка (например, вместо ранжирования от 1 до 5 можно упорядочить тот же ряд в числах от 2 до 10 или от (-1) до (+1). Отношения между рангами останутся неизменными). Кроме этого, возможно использование модальных показателей, поиск средней тенденции с помощью медианы (Ме), которая делит ранжированный ряд пополам.

Для интерпретации данных, полученных посредством порядковой шкалы, можно исполь-зовать более широкий спектр статистических мер (в дополнение к тем, которые допустимы для шкалы наименований). Наиболее сильный показатель для таких шкал – корреляции рангов
(по Спирмену – p или по Кендаллу – R). Ранговые корреляции указывают на наличие или отсутствие функциональных связей в двух рядах признаков, измеренных упорядоченными номинальными шкалами.

Числовые значения порядковой шкалы нельзя складывать, вычитать, делить и умножать. Шкала порядка сохраняет свои свойства при изотонических преобразованиях (значения шкальных величин можно возводить в квадрат и заменять квадратами, логарифмами, нормализовать и т.д.). Все функции, которые не имеют максимума (монотонные), отвечают этой группе преобразований. При таких преобразованиях значений величин, определенных по шкале порядка, место объектов на шкале не изменяется, т.е. не происходит инверсий. Все функции, которые имеют максимум, называются изотонными.

Еще Стивенс высказывал мнение, что результаты большинства психологических измерений в лучшем случае соответствуют лишь шкалам порядка.

Шкалы порядка широко используются в психологии познавательных процессов, эксперимен-тальной психосемантике, социальной психологии. Ранжирование, оценивание, в том числе педагогическое, дают порядковые шкалы. Классическим примером использования порядковых шкал является тестирование личностных черт, а также способностей.

Как бы то ни было, шкала порядка позволяет ввести линейную упорядоченность объектов на некоторой оси признака. Тем самым вводится важнейшее понятие – измеряемое свойство, или линейное свойство, тогда как шкала наименований использует неточный вариант интерпретации понятия “свойство”, а лишь в контексте – “свойство есть – свойства нет”.

Переходным вариантом шкалы порядка можно считать дихотомическую классификацию, проводимую по принципу “есть свойство (1) – нет свойства (0)” при 1 > 0. Дихотомическое разбиение множества позволяет применять не только порядок, но и метрику (переход к интервальной шкале).

Интервальная шкала (шкала равных интервалов) – это шкала, классифицирующая по принципу “больше на определенное количество единиц – меньше на определенное количество единиц”. Шкала интервалов – первая метрическая шкала, определяющая величину различий между объектами в проявлении свойства. При этом, используя шкалу интервалов, выясняют, насколько более или менее выражено определенное свойство у одного объекта, чем у другого.

Интервальная шкала представляет собой полностью упорядоченный ряд с измеренными интервалами между пунктами, причем отсчет начинается с произвольно выбранной величины. Каждое из возможных значений признака отстоит от другого на равном расстоянии. Таким образом, в шкале интервалов нулевая точка отсчета может устанавливаться произвольно,
а величины единиц и направление отсчета могут определяться по избираемым константам.

Эквивалентные интервальные шкалы могут быть линейно преобразованы друг в друга, что позволяет приводить результаты тестирования к общим шкалам и таким образом осуществлять сравнение показателей. Более того, многие статистические процедуры предполагают измерения по шкале интервалов.

Главная трудность в построении таких шкал – обоснование равенства или разности дистанций между пунктами.

Можно предположить, что если мы измеряем время решения задачи в секундах, то это уже явно шкала интервалов. Однако на самом деле это не так, поскольку психологически различие в
20 секунд между испытуемым А и Б может отнюдь не равно различию в 20 секунд между испы-туемыми Б и Г, если испытуемый А решил задачу за 2 секунды, Б – за 22, В – за 222, а Г – за 242. Выход может быть найден путем перевода сырых баллов в единицы стандартного отклонения, при которых определенная часть результатов будет попадать в тот или иной отрезок, приравненный к различному уровню развития измеряемого свойства.

Интервальная шкала позволяет применять практически всю параметрическую статистику для анализа данных, полученных с ее помощью. Помимо медианы и моды для характеристики центральной тенденции используется среднее арифметическое, а для оценки разброса – дисперсия. Можно вычислять коэффициенты асимметрии и эксцесса и другие параметры распределения. Для оценки величины статистической связи между переменными возможно вычисление коэффициента ранговой корреляции, а также коэффициента линейной (парной) корреляции по Пирсону (r).

Для интервальной шкалы применимы линейные преобразования чисел, т.е. значения интервальной шкалы инвариантны относительно группы аффинных преобразований, при которых можно изменять масштаб шкалы, умножая каждое из ее значений на константу, и производить ее сдвиг относительно произвольно выбранной точки на любое расстояние вправо или влево (прибавлять или отнимать константу).

Собственно, начиная с этой шкалы, имеет смысл говорить об измерениях в узком смысле этого слова – о введении меры на множестве объектов. С помощью шкалы интервалов можно сравнивать два объекта.

Шкала интервалов очень часто используется исследователями. Классическим примером применения этой шкалы в физике является измерение температуры по Цельсию. Шкала интервалов имеет масштабную единицу, но положение нуля на ней произвольно, поэтому нет смысла говорить о том, во сколько раз больше или меньше утренняя температура воздуха, измеренная шкалой Цельсия, чем дневная.

Большинство специалистов по теории психологических измерений полагает, что тесты измеряют психические свойства с помощью шкалы интервалов. Прежде всего, это касается тестов интеллекта и достижений. Численные значения одного теста можно переводить в численные значения другого теста с помощью линейного преобразования: у = ах + b.

Ряд авторов полагает, что относить тесты интеллекта к шкалам интервалов нет оснований.
Во-первых, каждый тест имеет “нуль” – любой индивид может получить минимальный балл, если не решит ни одной задачи в отведенное время. Во-вторых, тест имеет максимум шкалы – балл, который испытуемый может получить, решив все задачи за минимальное время. В-третьих, разница между отдельными значениями шкалы неодинакова. По крайней мере, нет никаких теоре-тических и эмпирических оснований утверждать, что 100 и 120 баллов по шкале IQ отличаются на столько же, на сколько 80 и 100 баллов.

Скорее всего, шкала любого теста интеллекта является комбинированной шкалой, с естест-венным минимумом и/или максимумом, но порядковой. Однако эти соображения не мешают тестологам рассматривать шкалу IQ как интервальную, преобразуя “сырые” значения в шкальные с помощью известной процедуры “нормализации” шкалы.

Шкала равных отношений –это шкала, классифицирующая объекты или субъектов пропорционально степени выраженности измеряемого свойства. В отличие от интервальной шкалы она имеет значимую нулевую точку, которая не произвольна, а указывает на полное отсутствие измеряемого свойства.

В шкалах отношений классы обозначаются числами, которые пропорциональны друг другу (например, 2 так относится к 4, как 4 к 8).

Наличие нулевой точки – проблема для большинства психологических переменных. Возможности человеческой психики столь велики, что трудно себе представить абсолютный нуль в какой-либо измеряемой психологической переменной. Абсолютная глупость и абсолютная честность – понятия скорее житейской психологии. То же относится и к установлению равных отношений: только метафора обыденной речи допускает, чтобы Иванов был в 2 раза (3, 10, 100) умнее Петрова или наоборот.

Абсолютный нуль, правда, может иметь место при подсчете количества объектов или субъектов. Например, при выборе одной из 3 альтернатив испытуемые не выбрали альтернативу А ни разу, альтернативу Б – 14 раз и альтернативу В – 28 раз. В этом случае мы можем утверждать, что альтернативу В выбирают в два раза чаще, чем альтернативу Б. Однако при этом измерено не психологическое свойство человека, а соотношение выборов у 42 человек.

По отношению к показателям частот можно применять все арифметические операции: сложение, вычитание, деление и умножение. Единица измерения в этой шкале отношений –
1 наблюдение, 1 выбор, 1 реакция и т.п.

Шкала отношений – наиболее часто используемая в физике шкала, дающая возможность получения в результате измерительной процедуры таких данных о выраженности свойств объектов, когда можно сказать, во сколько раз один объект больше или меньше другого. Это возможно лишь тогда, когда помимо определения равенства, рангового порядка, равенства интервалов известно равенство отношений.

Шкала отношений отличается от шкалы интервалов тем, что на ней определено положение “естественного нуля”. Классический пример – шкала температур Кельвина. В некоторой степени шкала отношений является идеалом измерительной процедуры.

Значения шкалы отношений инвариантны относительно преобразования вида: х ¹ = ах. Значения шкалы можно умножать на константу. К ним применимы любые статистические меры. Измерения массы, времени реакции и выполнения тестового задания – таковы области примене-ния шкалы отношений. Отличием этой шкалы от абсолютной является отсутствие “естественной” масштабной единицы.

Кроме перечисленных видов шкал ряд специалистов выделяют также абсолютную шкалу и шкалу разностей.

Шкала разностей, в отличие от шкалы отношений, не имеет естественного нуля, но имеет естественную масштабную единицу измерения. Ей соответствует аддитивная группа действитель-ных чисел. Классическим примером этой шкалы является историческая хронология. Она сходна со шкалой интервалов. Разница лишь в том, что значения этой шкалы нельзя умножать (делить)
на константу. Поэтому считается, что шкала разностей – единственная с точностью до сдвига. Некоторые исследователи полагают, что Иисус Христос родился за четыре года до общепринятого начала нашего христианского летосчисления. Сдвиг на четыре года назад ничего не изменит в хронологии. Можно использовать мусульманское летосчисление или же считать годы от сотво-рения мира. Кому как нравится. В психологии шкала разностей используется в методиках парных сравнений.

Абсолютная шкала является развитием шкалы отношений и отличается от нее тем, что обладает естественной единицей измерения. В этом ее сходство со шкалой разностей. Число решенных задач (“сырой” балл), если задачи эквивалентны, одно из проявлений абсолютной шкалы.

В психологии абсолютные шкалы не используются. Данные, полученные с помощью абсолютной шкалы, не преобразуются, шкала тождественна сама себе. Любые статистические меры допустимы.

В литературе, посвященной проблемам психологических измерений, упоминаются и другие типы шкал: ординальная (порядковая) с естественным началом, лог-интервальная, упорядоченная метрическая и др.

Все написанное выше относится к одномерным шкалам. Шкалы могут быть и многомерными: шкалируемый признак в этом случае имеет ненулевые проекции на два (или более) соответст-вующих параметра. Векторные свойства, в отличие от скалярных, являются многомерными.

Возможны два варианта шкальных преобразований:

1) повышение мощности шкалы;

2) понижение мощности шкалы.

Повышение мощности шкалы – это различные необъективные допущения и эмпирические приемы, базирующиеся лишь на интуиции и правдоподобных рассуждениях, и позволяющие перейти от шкалы менее мощной к шкале более мощной. Например, классы эквивалентности, выделенные при помощи шкалы наименований, могут быть упорядочены по некоторому основанию. Различают шкалу строгого порядка (строгая упорядоченность) и шкалу слабого порядка (слабая упорядоченность). В первом случае на элементах множества реализуются отношения “не больше” и “меньше”, а во втором – “не больше или равно” и “меньше или равно”.

Понижение мощности шкалы – это процедура преобразований единиц измерения более мощной шкалы в менее мощную шкалу.

Вторая процедура является тривиальной. Поскольку все возможные процедуры преобразо-ваний, которые приемлемы для более мощной шкалы (например, шкалы интервалов), допустимы и для менее мощной (например, шкалы порядка), то у нас есть право рассматривать данные, полученные с помощью интервальной шкалы, как порядковые или, допустим, порядковую шкалу – в качестве номинальной. Другое дело, если (по каким-либо соображениям) у нас возникает потребность перейти от шкалы наименований к шкале порядка и т.д. Для этого требуется вводить необъективные (с позиций математической теории измерений) допущения и эмпирические приемы, базирующиеся лишь на интуиции и правдоподобных рассуждениях. Но в большинстве случаев производится эмпирическая проверка: в какой мере данные, полученные с помощью “слабой” шкалы, удовлетворяют требованиям более “мощной” шкалы.

Рассмотрим переход от шкалы наименований к порядковой шкале. Естественно, для этого нужно упорядочить классы по некоторому основанию. Предположим, что принадлежность объекта к некоторому классу есть случайная функция. Тогда переход от номинативной шкалы к шкале порядка возможен в том случае, если существует упорядоченность классов. Во-первых, для каждого элемента существует модальный класс, вероятность принадлежности к которому значимо больше, чем к другим классам. Во-вторых, для каждого элемента существует только одна функция вероятностной принадлежности к множеству классов, такая, чтобы эти классы можно было упорядочить единственным образом. Проще говоря, каждый класс должен иметь только двух соседей: “слева” и “справа”, а порядок соседства определяется эмпирической частотой попадания элементов в различные классы. В “свой” класс элемент попадает чаще, в соседние со “своим” – реже и в отдаленные – еще реже. При обработке данных осуществляется эмпирическая проверка каждой тройки классов на стохастическую транзитность. Преобразование шкалы порядка в шкалу интервалов – более частый вариант. Он подробно описан в литературе, посвященной теории психологических измерений, в частности теории тестов.