Вывод формулы вычисления длины дуги (в декартовой системе координат)

Пусть дуга – это график некоторой функцией f(x), заключенный между x = a, x = b. Пусть f(x) – определена на [a; b]. Разобьем [a; b] на n частей произвольным образом. Обозначим Δx_k = x_k – x_{k – 1}. Через точки x_i проведем вертикальные линии, параллельные Oy. Обозначим точки пересечения графика с этими линиями M₁, M₂, …, M_n-1 и соединим их. Длина ломанной , где .

По теореме Лагранжа:

Если дуга задана параметрически, то: