Сформулируйте и докажите свойства решений ОЛДУ

1) Если у₁(х) – решение ОЛДУ у⁽ⁿ⁾ + P₁y^(n-1) +…+ P_n-1 y’ + P_n y = 0 (*), то функция y=С у₁(х), где С=const, также является решением этого ОЛДУ.

Док-во:

Подставим в ДУ:

С у₁⁽ⁿ⁾ + P₁ С y₁^(n-1) +…+ P_n-1 С y₁’ + P_n С y₁ = 0

С(у₁ ⁽ⁿ⁾ + P₁ у₁^(n-1) +…+ P_n-1 у₁’ + P_n у₁) = 0

у₁⁽ⁿ⁾ + P₁ у₁^(n-1) +…+ P_n-1 у₁’ + P_n у₁ = 0

2) Если у₁(х) и у₂(х) – решение ОЛДУ (*), то функции у₁(х) + у₂(х) также являются решениями этого ДУ

Док-во:

(у₁+у₂)⁽ⁿ⁾ + P₁(у₁+у₂) ^(n-1) +…+ P_n-1 (у₁+у₂)’ + P_n (у₁+у₂) =

= [у₁ ⁽ⁿ⁾ + P₁ у₁ ^(n-1) +…+ P_n-1 у₁’ + P_n у₁] + [у₂ ⁽ⁿ⁾ + P₁ у₂ ^(n-1) +…+ P_n-1 у₂’ + P_n у₂] = 0 + 0 = 0

3) Если y₁, y₂, …, y_k – решения ЛОДУ (*), то функция (C₁y₁ + C₂y₂ + … + C_ky_k) тоже является решением этого ДУ для любых постоянных C₁, C₂, …, C_k.