Вывод формулы вычисления площади плоской фигуры (в декартовой системе координат)

Плоская фигура – любое ограниченное множество точек плоскости. Если плоская фигура ограничена:

1. Графиком функции f(x), определенной и непрерывной на отрезке [a; b], f(x) ≥ 0 для всех x из отрезка [a; b], x = a, x = b, y = 0

Тогда разобьем на n частей точками x₁, x₂, …, x_n:

, x₀ = a, x_n = b.

Проведя вертикальные линии из каждой точки . Получим n криволинейных трапеций. Рассмотрим отрезок . Выберем точку . Значение функции в этой точке обозначим за f_i. построим прямоугольник с основанием и высотой f_i.

2. Графиком функции f(x), определенной и непрерывной на отрезке [a; b], f(x) ≤ 0 для всех x из отрезка [a; b], x = a, x = b, y = 0

7. Продолжение истории =))

3. Графиком функции f(x), определенной и непрерывной на отрезке [a; b], x = a, x = b, y = 0

4. Двумя графиками f₁(x) и f₂(x) (f₁(x) ≥ f₂(x) для всех x), x = a, x = b

5. Двумя графиками f₁(x) и f₂(x) (общий случай), x = a, x = b

,

где ,

где c_i – координата x точки пересечения графиков функций f₁(x) и f₂(x)

6. Простой замкнутой кривой, заданной параметрическим уравнением: