Теорема об определенном интеграле с переменным верхним пределом

Теорема:

Определенный интеграл с переменным верхним пределом от функции f(x), непрерывной на [a; b] является первообразной для подынтегральной функции.

Доказательство:

Возьмем и зададим приращение , так, что

Следствие:

У каждой непрерывной функции есть первообразная.

4. Теорема Лейбница – Ньютона.

Теорема:

Если F(x) – какая-то первообразная для f(x), то справедлива формула:

Доказательство:

Пусть F(x) – первообразная для f(x).

По теореме об определенном интеграле с переменным верхним пределом (Определенный интеграл с переменным верхним пределом от функции f(x), непрерывной на [a; b] является первообразной для подынтегральной функции):

– тоже первообразная для f(x).

Две первообразные для f(x) отличаются на C = const. Определим C:

Пусть x = a:

Пусть x = b: