Собственные векторы и собственные значения матрицы

Справочный материал.

Упорядоченная система n действительных чисел называется n-мерным вектором. Обозначение: или . Числа называются компонентами вектора.

Множество всех n -мерных векторов с действительными компонентами, рассматриваемое с определёнными в нём операциями сложения векторов и умножения вектора на число, называется n-мерным векторным пространством .

Число называется собственным значением матрицы порядка n, если существует такой ненулевой вектор , что выполняется равенство . При этом вектор называется собственным вектором матрицы . Данное в определении уравнение можно переписать в виде . Полученная однородная система всегда имеет нулевое решение. Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, то есть . Это уравнение называется характеристическим уравнением матрицы .

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Решение. Найдём собственные значения матрицы. Для этого составим характеристическое уравнение:

или , корни которого являются собственными значениями матрицы.

Найдём собственный вектор, соответствующий собственному значению . Для этого значение подставляем в уравнение . Откуда получаем или Одно из уравнений системы можно отбросить и получаем . Система имеет бесконечное множество решений. Придадим переменной значение , тогда . Таким образом собственный вектор матрицы, соответствующий собственному значению имеет вид: .

Найдём собственный вектор, соответствующий собственному значению . Для этого значение подставляем в уравнение . Откуда получаем или или Одно из уравнений системы можно отбросить и получаем . Система имеет бесконечное множество решений. Придадим переменной значение , тогда . Таким образом собственный вектор матрицы, соответствующий собственному значению имеет вид:

.

Ответ: , ; , .

Задание 19. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35. 36. .