![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Нормальным видом квадратичной формы называют сумму квадратов нескольких неизвестных с коэффициентами +1 или –1.
Квадратичная форма L от n неизвестных с действительными коэффициентами называется положительно определённой, если она приводится к нормальному виду, состоящему из n положительных квадратов.
Квадратичная форма L от n неизвестных с действительными коэффициентами называется отрицательно определённой, если она приводится к нормальному виду, состоящему из n отрицательных квадратов.
Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда: все собственные значения матрицы
положительны или все главные миноры матрицы
положительны (Критерий Сильвестра).
Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда: все собственные значения матрицы
отрицательны или все главные миноры матрицы
нечётного порядка отрицательны, а чётного порядка положительны (Критерий Сильвестра).
Пример. Исследовать квадратичную форму на знакоопределённость:
.
Решение.
Первый способ. (С помощью собственных значений.)
Запишем матрицу квадратичной формы:
.
Найдём собственные значения матрицы . Для этого составим характеристическое уравнение:
.
Выполним преобразования, не меняющие значение определителя. Прибавим к третьей строке первую, умноженную на (–1):
.
Прибавим к третьему столбцу первый:
.
Раскроем определитель разложением по третьей строке:
.
Уравнение имеет следующие корни:
,
,
.
Так как среди собственных значений матрицы есть положительные и отрицательные, то квадратичная форма не является знакоопределённой.
Второй способ. (С помощью критерия Сильвестра.) Вычислим главные миноры матрицы :
,
.
Так как критерий Сильвестра не выполняется, то квадратичная форма не является знакоопределённой.
Ответ: квадратичная форма не является знакоопределённой.
Задание 22. Исследовать квадратичную форму L на знакоопределённость.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. .
21. .
22. .
23. .
24. .
25. .
26. .
27. .
28. .
29. .
30. .
31. .
32. .
33. .
34. .
35. .
36. .
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 2444 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!