Знакоопределённость квадратичной формы

Нормальным видом квадратичной формы называют сумму квадратов нескольких неизвестных с коэффициентами +1 или –1.

Квадратичная форма L от n неизвестных с действительными коэффициентами называется положительно определённой, если она приводится к нормальному виду, состоящему из n положительных квадратов.

Квадратичная форма L от n неизвестных с действительными коэффициентами называется отрицательно определённой, если она приводится к нормальному виду, состоящему из n отрицательных квадратов.

Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда: все собственные значения матрицы положительны или все главные миноры матрицы положительны (Критерий Сильвестра).

Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда: все собственные значения матрицы отрицательны или все главные миноры матрицы нечётного порядка отрицательны, а чётного порядка положительны (Критерий Сильвестра).

Пример. Исследовать квадратичную форму на знакоопределённость:

.

Решение.

Первый способ. (С помощью собственных значений.)

Запишем матрицу квадратичной формы:

.

Найдём собственные значения матрицы . Для этого составим характеристическое уравнение:

.

Выполним преобразования, не меняющие значение определителя. Прибавим к третьей строке первую, умноженную на (–1):

.

Прибавим к третьему столбцу первый:

.

Раскроем определитель разложением по третьей строке:

.

Уравнение имеет следующие корни: , , .

Так как среди собственных значений матрицы есть положительные и отрицательные, то квадратичная форма не является знакоопределённой.

Второй способ. (С помощью критерия Сильвестра.) Вычислим главные миноры матрицы :

, .

Так как критерий Сильвестра не выполняется, то квадратичная форма не является знакоопределённой.

Ответ: квадратичная форма не является знакоопределённой.

Задание 22. Исследовать квадратичную форму L на знакоопределённость.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

26. .

27. .

28. .

29. .

30. .

31. .

32. .

33. .

34. .

35. .

36. .