Квадратичные формы

Справочный материал.

Квадратичной формой от n переменных называется сумма, каждое слагаемое которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:

.

Коэффициенты квадратичной формы – действительные числа, причём . Матрица , составленная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы.

В матричной записи квадратичная форма имеет вид:

,

где – матрица-столбец переменных, – матрица квадратичной формы.

Квадратичная форма называется канонической, если все её коэффициенты при :

.

Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определённым.

Пример. Привести квадратичную форму к каноническому виду:

.

Решение.

Выполним следующие преобразования:

.

Выполним переобозначения:

, , .

Полученное линейное преобразование , , приводит квадратичную форму к следующему каноническому виду:

.

Ответ: .

Задание 21. Привести квадратичную форму к каноническому виду.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

26. .

27. .

28. .

29. .

30. .

31. .

32. .

33. .

34. .

35. .

36. .