Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

Справочный материал.

Моделью Леонтьева многоотраслевой экономики или уравнением линейного межотраслевого баланса называется матричное уравнение , где – вектор валового выпуска, – матрица прямых затрат, – вектор конечного продукта; – общий (валовой) объём продукции i -й отрасли; , – объём продукции i -й отрасли, потребляемый j -й отраслью в процессе производства; – объём конечного продукта i -й отрасли для непроизводственного потребления; . Все величины имеют стоимостное выражение.

Модель Леонтьева называется продуктивной, если продуктивна матрица . Матрица с неотрицательными элементами называется продуктивной, если для любого вектора с неотрицательными элементами существует вектор с неотрицательными элементами.

Критерий продуктивности матрицы . Матрица с неотрицательными элементами продуктивна, если максимум сумм элементов её столбцов не превосходит единицы, причём хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы, то есть , и существует такой номер j, что .

Основная задача межотраслевого баланса состоит в нахождении такого вектора , который при известной матрице обеспечивает заданный вектор . Вектор можно найти методом обратной матрицы по формуле: .

Пример. Дана матрица прямых затрат . Найти вектор валовой продукции , обеспечивающий выпуск конечной продукции .

Решение.

Проверим критерий продуктивности.

1) Элементы матрицы неотрицательны.

2) Сумма элементов первого столбца:

,

3) сумма элементов второго столбца:

.

Критерий продуктивности выполняется, поэтому для вектора можно найти вектор .

Найдём матрицу :

.

Найдём матрицу, обратную для :

1) Вычислим определитель:

.

2) Вычислим алгебраические дополнения:

, , , .

3) Запишем обратную матрицу:

.

Тогда вектор валовой продукции:

.

Ответ: общий объём выпуска продукции первой отрасли должен составлять 630 ден. ед., второй – 490 ден. ед.

Задание 14. Дана матрица прямых затрат . Найти вектор валовой продукции Х, обеспечивающий выпуск конечной продукции .

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. , .

10. , .

11. , .

12. , .

13. , .

14. , .

15. , .

16. , .

17. , .

18. , .

19. , .

20. , .

21. , .

22. , .

23. , .

24. , .

25. , .

26. , .

27. , .

28. , .

29. , .

30. , .

31. , .

32. , .

33. , .

34. , .

35. , .

36. , .