Линейная модель обмена

Справочный материал.

Линейной моделью обмена является матричное уравнение или, что одно и то же, , где – структурная матрица торговли, – доля национального дохода, которую страна тратит на покупку товаров у страны , причём ; – вектор национальных доходов стран ; – единичная матрица, – нулевой вектор. Решить уравнение означает найти собственный вектор , соответствующий собственному значению .

Пример. Найти соотношение национальных доходов трёх стран для сбалансированной торговли, если задана структурная матрица торговли :

Решение.

Найдём собственный вектор , отвечающий собственному значению . Для этого решим уравнение . Запишем матрицу :

.

Тогда уравнение можно записать в виде следующей однородной системы линейных алгебраических уравнений:

Выполним преобразования. Умножим первое уравнение на , второе и третье на 10:

Решим систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы:

.

Приведём расширенную матрицу системы к ступенчатому виду.

1) Поменяем местами первую и третью строки:

.

2) Прибавим ко второй строке первую, умноженную на , прибавим к третьей строке первую, умноженную на :

.

3) Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на :

.

4) Вычеркнем нулевую строку:

.

5) Умножим вторую строку на :

.

Так как ранг матрицы системы равен 2 и ранг расширенной матрицы системы равен 2, то система совместна. И так как число неизвестных равно 3, то есть ранг меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений.

Запишем систему уравнений по виду последней матрицы:

Объявляем неизвестные основными, неизвестную свободной. Выразим основные неизвестные через свободную. Из второго уравнения . Из первого уравнения . Переобозначим неизвестное через c. Тогда решением системы является вектор . Полученный результат означает, что сбалансированность торговли трёх стран достигается при соотношении национальных доходов стран или .

Ответ: .

Задание 20. Найти соотношение национальных доходов трёх стран для сбалансированной торговли, если задана структурная матрица торговли .

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35. 36.