Фрагмент розв’язку задачі 9.2.0

Вихідні дані:

Крок сітки:

Число вузлів сітки:

Формування вектора правої частини системи ЗДР і вектора початкових умов для застосування вбудованої функції rkfіxed:

Графік розв'язку

Правило Рунге практичної оцінки похибки (правило подвійного перерахування):

, где , i= 1, …, N, p – порядок методу, а обчислення ведуться у вузлах сітки .

Уточнений розв'язок обраховується по формулі: , i= 1,…, N.

Розрахункові формули методів РОЗВ’ЯЗКУ задачі Коші для ЗДР 1 порядку:

Метод розкладання по формулі Тейлора 2 Порядку:

Модифікований метод Ейлера 2 порядку:

Метод Рунге-Кутти 3 порядку I: , , ,

Метод Рунге-Кутти 3 порядку II: , , ,

Метод Рунге-Кутти 3 порядку III: , , ,

Экстраполяційний метод Адамса 2 порядку:

Экстраполяційний метод Адамса 3 порядку:

Экстраполяційний метод Адамса 4 порядку:

Сведение ЗДР 3 порядку к системе ЗДР 1 порядку (для задачі 4):

, , .

Умова стійкості явного методу Ейлера для системи ЗДР 1 порядку з постійними коефіцієнтами :

, где , i =1, …, n, – власні числа матриці M порядку n.

Контрольні питання

1. Постановка задачі Коші. Дискретне завдання Коші: основні поняття й визначення (сітка, сеточние функції, численний метод, апроксимація, збіжність).

2. Методи рядів Тейлора розв'язку задачі Коші.

3. Численні методи розв'язку задачі Коші: вивод формули методу Ейлера, його геометрична інтерпретація, стійкість, оцінка похибки, вплив обчислювальної похибки.

4. Модифікації методу Ейлера другого порядку точності: вивід розрахуваних формул, геометрична інтерпретація методів. Оцінка похибки.

5. Методи Рунге- Кутті. Вивід формул. Оцінка похибки.

6. Явние одношаговие методи. Локальна й глобальна похибки. Оцінка похибки за правилом Рунге. Організація программи з автоматичним вибором кроку.

7. Розв'язок задачі Коші для систем дифференциальних рівнянь. Завдання Коші для рівняння m- го порядку.

8. Апроксимація, стійкість і збіжність численних методів розв'язку задачі Коші.

9. Неявний метод Ейлера.

10. Многошаговие методи. Вивод формул явного методу Адамса- Башфорта. Многошаговие методи. Вивод формул неявного метода Адамса-Моултона.

11. Тверді задачі й методи їх розв'язку.

12. Застосовуючи метод Ейлера, знайти розв'язок задачі Коші , у три послідовних точках: .

13. Для задачі Коші один крок довжини 0.1 за методом Ейлера-Коші і оцінити похибку знайденого значення за правилом Рунге.

14. Методом Рунге- Кутти 2 порядку точності знайти розв'язок системи дифференциальних рівнянь у дві послідовних точках , .

15. Оцінити похибку апроксимації похідній різністним відношенням .

16. Звести рівняння 2 порядку до системи рівнянь 1 порядку й скласти розрахункові формули методу прогнозу й корекції для розв'язку отриманої системи рівнянь. , .

17. З'ясувати, чи апроксимують методи
a)
b)
перше рівняння задачі Коші
(*)

19. Вивести формулу методу рядів Тейлора другого порядку точності для розв'язання задачі Коші.

20. Вивести формули методу Рунге- Кутті першого порядку точності для розв'язання задачі Коші.

21. Для неявного методу Ейлера для розв'язання задачі Коші записати розрахункові формули методу Ньютона.