Завдання 2. Розбиваємо даний проміжок на 10 відрізків, після чого отримаємо наступну формулу для кусково-лінійної інтерполяції:

на проміжку

Розбиваємо даний проміжок на 10 відрізків, після чого отримаємо наступну формулу для кусково-лінійної інтерполяції:

Poзв’язок завдання №2 за допомогою пакета MATLAB:

x1=[0:1e-3:4];

y1=abs(x1-3).*(x1.^2+1);

x=[0:0.4:4];

y=abs(x-3).*(x.^2+1);

y= 3 3.016 3.608 4.392 4.984 5 4.056 1.768 2.248 8.376 17

xi=[x(1):1e-3:x(length(x))];

yline=interp1(x,y,xi);

p=polyfit(x,y,10);

f=polyval(p,x1);

figure (1)

plot(x1,y1,'r',xi,yline,x1,f)

legend('вихідний графік','кусково-лінійний','поліном Лагранжа')

D1=abs(y1-yline);

D2=abs(y1-f);

figure (2)

plot(x1,D1, x1,D2)

legend('"лінійна"похибка','похибка за "Лагранжем"')

Контрольні питання

1. Постановка задач наближення функцій.

2. Метод найменших квадратів. Висновок нормальної системи методу найменших квадратів.

3. Обумовленість нормальної системи.

4. Вибір оптимального ступеня апроксимуючого многочлена.

5. Поліноміальна інтерполяція. Многочлен у формі Лагранжа.

6. Многочлен у формі Ньютона.

7. Похибка інтерполяції.

8. Глобальна інтерполяція. Кусочно-поліноміальна інтерполяція. Вибір вузлів інтерполяції.

9. Мінімізація оцінки похибки інтерполяції..

10. Інтерполяція сплайнами. Визначення сплайна. Лінійний сплайн.

11. Побудова кубічного сплайна.

12. Види граничних умов при побудові сплайнів.

13. Побудова параболічного сплайна.

14. Вивести нормальну систему методу найменших квадратів для визначення коефіцієнтів функції:
a) ; b) .

15. Використовуючи метод найменших квадратів, апроксимувати на відрізку функцію многочленом першому ступеня. Обчислити величину середньоквадратичного відхилення.

16. Побудувати інтерполяційний многочлен у формі Лагранжа й у формі Ньютона для функції , заданою таблицею значень.

a)	x	-1			b)	x
	y					y

17. Обчислити , знаючи значення і .

18. Побудувати кусочно-лінійну інтерполяцію функції по вузлах –1, 0, 1.

19. Функція наближається на відрізку інтерполяційним многочленом за значеннями в точках . Оцінити похибку інтерполяції на цьому відрізку.

20. З яким постійним кроком h потрібно встановити таблицю функції на відрізку , щоб похибка лінійної інтерполяції не перевершувала ?