Теоретичні відомості. Нехай функція задана таблицею значень

Нехай функція задана таблицею значень. Потрібно знайти многочлен степеня , для якого середньоквадратичне відхилення мінімальне. Оскільки многочлен

визначається своїми коефіцієнтами, то фактично потрібно підібрати набір коефіцієнтів , що мінімізують функцію .

Використовуючи необхідну умову екстремуму отримаємо так звану нормальну систему МНК: . Отримана система є системою рівнянь відносно невідомих . Можна довести, що визначник системи відмінний від нуля, тобто існує розв’язок і він єдиний. Проте при високих степенях система погано обумовлена. Тому МНК застосовують лише для знаходження многочленів степінь яких менший 5.

РОБОЧЕ ЗАВДАННЯ

Завдання 7.1. Функція задана табличною (Табл. 7.1). Використовуючи метод найменших квадратів (МНК), знайти многочлен найкращого середньоквадратичного приближення оптимального степеня . За оптимальне значення прийняти той степінь многочлена, починаючи з якого величина стабілізується та почне зростати.

Завдання 7.2. В (табл. 7.2) наведено результати спостереження за переміщенням матеріальної точки вздовж осі в момент часу . Відомо, що рух є рівномірним та змінюється по закону . Використовуючи МНК знайти швидкість та спрогнозувати положення точки в момент часу . На одному графіку побудувати графік руху точки та точковий графік даних спостережень.

Завдання 7.3. Залежність між величинами та описується функцією , де та – невідомі параметри. Знайти ці параметри шляхом приведення вихідної задачі до лінійної задачі МНК. (Табл. 7.3).

Завдання 7.4. В (табл. 7.4) наведено результати спостережень за рухом матеріальної точки в площині . Відомо, що рух здійснюється по кривій, що описується многочленом . Використовуючи МНК знайти коефіцієнти та . Знайти значення координати , що відповідає значенню координати .

Завдання 7.5. Відомо, що , де коефіцієнти та потрібно знайти. Використовуючи МНК знайти та .Значення (Табл.7.5)

Таблиця 7.1- Завдання 7.1

x y 7.1.1	x y 7.1.2	x y 7.1.3	x y 7.1.4	x y 7.1.5
-1	-2.25		4.568	-1	3.614	-0.5	0.72	-2.1	14.1982
-0.7	-0.77	0.375	3.365	-0.74	1.199	-0.25	1.271	-1.8	11.4452
-0.43	0.21	0.563	2.810	-0.48	-0.125		1.2	-1.5	9.1586
-0.14	0.44	0.75	2.624	-0.21	-0.5838	0.25	0.7363	-1.2	7.2426
-0.14	0.64	1.125	0.674	0.05	-0.538	0.5	0.24	-0.9	6.3640
0.43	0.03	1.313	0.557	0.31	-0.2855	0.75	-0.175	-0.6	4.8182
0.71	-0.22	1.5	0.384	0.58	0.1111		-0.36	-0.3	6.1088
	-0.84	1.690	-0.566	0.84	0.4529	1.25	-0.328		3.9536
1.29	-1.2	1.875	-1.44	1.1	0.6711	1.5		0.3	4.6872
1.57	-1.03	2.063	-1.696	1.36	0.6625	1.75	0.3538	0.6	4.7601
1.86	-0.37	2.25	-1.91	1.63	0.4501		0.72	0.9	5.8511
2.14	0.61	2.438	-2.819	1.89	0.157	2.25	0.6969	1.2	7.1010
2.43	2.67	2.625	-3.625	2.15	-0.1876	2.5		1.5	9.1792
2.71	5.04	2.813	-3.941	2.41	-0.542	2.75	-1.792	1.8	11.421
	8.90		-4.367	2.95	-0.1983		-5.16	2.1	14.097
7.1.6	7.1.7	7.1.8	7.1.9	7.1.10
	-0.9	-0.70	-4.152		1.019	2.5	6.109	-3.6	-2.397
0.2	-0.6482	-0.41	1.244	0.3	1.4889	2.75	2.615	-3.08	-0.401
0.4	-0.2436	-0.12	3.182	0.6	2.2079		-0.157	-2.56	-0.577
0.6	-0.1	0.17	2.689	0.9	3.0548	3.25	-2.010	-2.04	-1.268
0.8	0.0231	0.46	0.950	1.2	3.8648	3.5	-2.697	-1.52	-0.933
	0.0260	0.75	-2.743	1.5	4.2161	3.75	-3.615	-1	-0.359
1.2	0.0967	1.04	-5.839	1.8	5.1180		-3.478	-0.48	1.107
1.4	-0.2203	1.33	-7.253	2.1	5.7661	4.25	-2.250	0.04	1.300
1.6	-0.3230	1.62	-6.100	2.4	6.6720	4.5	0.193	0.56	1.703
1.8	-0.6472	1.91	-2.144	2.7	7.1960	4.75	2.086	1.08	-0.299
	-0.7630	2.20	6.103		7.8551		5.882	1.6	-1.417
7.1.11	7.1.12	7.1.13	7.1.14	7.1.15
	2.25	-1	0.192	-0.7	1.04	-3	0.262	-0.7	3.822
0.17	1.106	-0.75	-0.054	-0.5	1.08	-2.55	-1.032	-0.375	-1.498
0.33	0.3951	-0.5	-0.209	-0.3	0.68	-2.1	-1.747	-0.05	-2.419
0.5	-0.0334	-0.25	-0.429	-0.1	0.38	-1.65	-1.981	0.275	-1.292
0.67	-0.20		-0.413	0.1	0.07	-1.2	-0.564	0.6	0.828
0.83	-0.1137	0.25	-0.491	0.3	-0.03	-0.75	0.774	0.925	1.963
	0.0294	0.5	-0.357	0.5	-0.38	-0.3	2.400	1.25	2.401
1.17	0.1008	0.75	-0.434	0.7	-0.22	0.15	2.131	1.575	1.877
1.33	0.3		-0.140	0.9	-0.36	0.6	2.2	1.9	2.200
1.5	-0.0021	1.25	-0.130	1.1	-0.33	1.05	-0.393	2.25	-1.378
1.67	-0.3682	1.5	0.142	1.3	-0.28	1.5	-1.815	2.55	-2.395
1.83	-1.119	1.75	0.288	1.5	-0.17	1.95	-0.788	2.875	-1.460
	-2.226		0.876	1.7	0.27	2.4	8.030	3.2	3.604
7.1.16	7.1.17	7.1.18	7.1.19	7.1.20
-3.2	-0.173	-0.7	4.166		1.108		7.079	-0.7	-12.917
-2.66	-0.574	-0.31	-2.278	2.4	1.832	6.4	-1.509	-0.41	3.619
-2.12	-1.811	0.08	-3.172	2.8	2.413	6.8	-7.654	-0.2	9.586
-1.58	-1.849	0.47	-0.506	3.2	3.656	7.2	-12.211	0.17	7.949
-1.04	0.123	0.86	2.748	3.6	5.126	7.6	-13.941	0.46	1.543
-0.5	1.462	1.25	2.665		5.552		-15.117	0.75	-8.057
0.04	2.399	1.64	1.353	4.4	6.024	8.4	-13.720	1.04	-16.150
0.58	1.300	2.03	-0.294	4.8	7.202	8.8	-10.702	1.33	-20.562
1.12	1.703	2.42	-1.613	5.2	8.590	9.2	-4.696	1.62	-17.720
1.66	-2.045	2.81	-2.223	5.6	8.953	9.6	3.501	1.91	-6.200
2.2	2.817	3.2	4.04		10.046		10.572	2.2	18.115
7.1.21	7.1.22	7.1.23	7.1.24	7.1.25
	-2.815	-2	-4.596	-0.5	0.061	5.5	1.542	-1	-5.265
0.25	-2.18	-1.67	-4.216	-0.42	4.185	5.75	0.652	-0.708	-1.994
0.5	-0.225	-1.33	-3.162	-0.33	7.271		-0.008	-0.417	0.224
0.75	1.722	-1	-2.459	-0.25	9.683	6.25	-0.620	-0.125	1.146
	3.492	-0.67	-1.558	-0.17	11.319	6.5	-0.751	0.167	1.552
1.25	3.31	-0.33	-0.876	-0.08	11.469	6.75	-1.183	0.458	-0.148
1.5	2.945		-0.168		11.324		-1.229	0.75	-1.233
1.75	1.449	0.33	0.44	0.08	10.495	7.25	-1.139	1.042	-2.297
	0.334	0.67	1.715	0.17	9.659	7.5	-0.770	1.333	-2.4
2.25	-1.906		2.106	0.25	7.345	7.75	-0.586	1.625	-2.317
2.5	-3.430	1.33	2.845	0.33	5.132		-0.066	2.917	-1.223
2.75	-2.983	1.67	3.83	0.42	2.619	8.25	0.633	2.208	2.257
	0.087		4.634	0.5	0.069	8.5	1.542	2.5	7.806
7.1.26	7.1.27	7.1.28	7.1.29	7.1.30
-1	-5.317	-0.4	0.918	-1.3	-1.762		5.241	-0.8	3.503
-0.56	-0.581	-0.05	1.258	-0.85	0.955	0.288	4.892	-0.475	-0.55
-0.13	1.137	0.3	0.685	-0.4	3.614	0.575	3.521	-0.15	-1.681
0.313	0.478	0.65	-1.314	0.05	4.707	0.863	1.121	0.175	-1.263
0.75	-0.790		-1.709	0.5	3.721	1.15	-1.357	0.5	0.421
1.188	-2.502	1.35	-3.446	0.95	0.402	1.438	-3.5	0.825	1.301
1.625	-2.482	1.7	-2.473	1.4	-3.101	1.725	-3.528	1.15	2.551
2.063	0.554	2.05	0.084	1.85	-2.489	2.013	0.257	1.475	2.937
2.5	7.904	2.4	6.031	2.3	9.868	2.3	10.515	1.8	2.097

Таблиця 7.2 Завдання 7.2

7.2.1	t		1.4	1.8	2.6		3.4	3.8	4.2	4.6
	x	10.60	18.01	25.85		50.64	60.2	68.27	77.77	84.50	93.4
7.2.2	t		1.625	2.25	2.88	3.5	4.13	4.75	5.375
	x	14.86	27.15	41.19		69.03	81.6	96.11	109.4	124.03
7.2.3	t		0.5		1.5		2.5		3.5
	x	3.732	9.378	15.53		29.52	35.2	42.35	48.61	55.51
7.2.4	t		0.6	1.2	1.8	2.4		4.2	4.8	5.4
	x	6.449	19.97	33.91	48.2	64.15	76.9	106.2	122.2	135.6
7.2.5	t		3.2	4.4		5.6	6.8	7.4
	x	18.50	35.73	54.65	62.4	71.74	90.5	98.10	107.6
7.2.6	t		5.5		6.5		7.5		8.5
	x	13.85	14.30	15.84	16.9	18.89	19.7	21.03	22.08	23.95

Таблиця 7.3 Завдання 7.3

N f(x,a,b) x y	N f(x,a,b) x y	N f(x,a,b) x y	N f(x,a,b) x y	N f(x,a,b) x y
7.3.1	7.3.2	7.3.3	7.3.4	7.3.5
-2.5	0.876	0.1	5.53	0.1	0.479	-2.0	1.649	-1.5	0.0829
-2	0.29523	0.3	2.7967	0.2	0.7562	-1.6	1.942	-1.2	0.2192
-1.5	0.75958	0.5	2.25	0.3	0.9184	-1.2	2.142	-0.9	0.5794
-1	1.49184	0.7	2.0157	0.4	1.0335	-0.8	2.274	-0.6	1.5315
-0.5	2.23671	0.9	1.8856	0.5	1.1227	-0.4	2.35	-0.3	4.0481
	2.56000	1.1	1.8027	0.6	1.1957		2.375		10.7
0.5	2.23671	1.3	1.7454	0.7	1.2573	0.4	2.35	0.3	4.0481
	1.49184	1.5	1.7033	0.8	1.3107	0.8	2.274	0.6	1.5315
1.5	0.75958	1.7	1.6712	0.9	1.3579	1.2	2.142	0.9	0.5794
	0.29523	1.9	1.6458	1.0	1.4	1.6	1.942	1.2	0.2192
2.5	0.0876	2.1	1.6252	1.1	1.4381	2.0	1.649	1.5	0.0829
7.3.6	7.3.7	7.3.8	7.3.9	7.3.10
-2	8.16617	-4	-6.47		4.0199	0.5	1.7499	-1.0	0.756
-1.6	5.92986	-3.2	-3.2086	1.7	3.9404	0.75	2.5732	-0.8	1.0033
-1.2	4.30596	-2.4	-2.3433	2.4	3.8574		3.2817	-0.6	1.2215
-0.8	3.12677	-1.6	-2.2767	3.1	3.7706	1.25	3.8197	-0.4	1.4
-0.4	2.27050	-0.8	-1.4114	3.8	3.6793	1.5	4.1396	-0.2	1.5289
	1.64872		1.85	4.5	3.5827	1.75	4.2065		1.6
0.4	2.27050	0.8	9.105	5.2	3.4799	2.0	3.5208	0.2	1.6073
0.8	3.12677	1.6	21.951	5.9	3.3693	2.25	2.7829	0.4	1.5474
1.2	4.30596	2.4	41.986	6.6	3.249	2.5	1.8224	0.6	1.4196
1.6	5.92986	3.2	70.806	7.3	3.1158	2.75	0.6915	0.8	1.2262
	8.16617		110.01		2.9644		0.6915	1.0	0.9725

Таблиця 7.4 Завдання 7.4

7.4.1	m =2	x	2.3	2.6	2.8		3.3	3.6	3.8
	=7	y
7.4.2	m =2	x	1.5	2.1	2.7	3.3	3.9	4.5	5.1
	=8	y	11.1	10.3	9.08	7.64	5.92	3.90	1.60
7.4.3	m =2	x	2.5	2.8	3.1	3.4	3.7		4.3	4.6
	=6	y		18.5	15.6	12.5	9.10	5.40	1.42	2.14
7.4.4	m =3	x	0.5	0.75		1.25	1.5	1.75		2.25	2.5
	=5	y	3.69	3.90	4.3	4.97	5.96	7.35	9.2	11.57	14.54
7.4.5	m =3	x		1.4	1.8	2.2	2.6		3.4	3.8	4.2	4.6
	=8	y	2.1	2.45	3.07	4.03	5.42	7.3	9.76	12.87	16.72	21.4
7.4.6	m =3	x	1.7	1.9	2.1	2.3	2.5	2.7	2.9	3.1
	=7	y	50.6	48.1	45.0	41.2	36.7	31.4	25.3	18.3

Таблиця 7.5 Завдання 7.5

7.5.1	7.5.2	7.5.3	7.5.4	7.5.5	7.5.6	7.5.7	7.5.8
a =4 b =2	a =3 b =1	a =3 b =2	a =3 b =4	a =4 b =0	a =2 b =3	a =1 b =4	a =2 b =1
-0.3156	-1.0044	-1.3111	0.1931	0.8984	2.002	3.053	-2.32
-1.193	-0.4724	-2.8426	1.242	1.0916	1.7937	0.945	-0.9861
-0.6763	-0.2432	-2.4981	1.7388	1.0262	0.39	-2.45	0.0841
0.6968	-0.4119	-0.2912	1.7317	0.802	-0.9052	-2.4651	0.583
1.2	-0.6785	2.3164	1.2585	0.7105	-1.0023	0.4665	0.4912
0.2828	-0.5996	3.5128	0.1876	0.9056	0.0001	3.052	0.002
-0.7221	-0.0449	2.3528	-1.1307	1.0958	1.0025	0.9463	-0.4925
-0.4711	0.7788	-0.2767	-2.0600	1.0365	0.9054	-2.4652	-0.593
0.5024	1.4016	-2.5041	-2.0782	0.7972	-0.37	-2.467	-0.0841
0.7083	1.4446	-2.8408	-1.1179	0.6868	-1.7940	0.940	0.9852
-0.3085	1.0099	-1.3088	0.2087	0.9066	-2.003	3.053	2.315
-1.204	0.4743	0.7309	1.2317	1.0858	-0.5597	0.9417	3.3891
-0.6968	0.2475	1.6866	1.7312	1.0128	1.6174	-2.4703	3.8051
0.67	0.4091	1.0946	1.7316	0.7833	2.9025	-2.4712	3.2961
1.2049	0.6512	-0.2552	1.2483	0.7028	2.2468	0.938	1.9129
0.3095	0.6007	-0.8962	0.1898	0.9035	0.001	3.042	-0.003
-0.7008	0.0361	-0.2370	-1.1263	1.0815	-2.2365	0.933	-1.913
-0.5057	-0.7662	1.0992	-2.0577	1.0366	-2.902	-2.472	-3.2963
0.491	-1.3814	1.6841	-2.0713	0.7552	1.6172	-2.471	-3.8051
0.7244	-1.4429	0.7336	-1.1084	0.7185	0.5593	0.942	-3.3892
-0.3	-1.0072	-1.2845	0.2066	0.9218	2.0004	3.052	-2.285

Контрольні питання