Робоче завдання

1. Знайти наближений розв'язок завдання Коші для звичайного диференціального рівняння (ЗДР) 1 порядку

(1)

і оцінити похибку розв'язку завдання.

ПОРЯДОК РОЗВ'ЯЗКУ ЗАВДАННЯ:

1. Задати вихідні дані: функцію f правої частини, початкове значення .

2. Використовуючи функцію eyler, знайти наближений розв'язок завдання Коші із кроком h=0.1 по явному метод Ейлера.

3. Використовуючи вбудовану функцію rkfіxed пакета MATHCAD, знайти наближений розв'язок завдання Коші із кроком h=0.1 по методу Рунге- Кутти 4 порядку точності.

4. Знайти розв'язок завдання Коші аналітично.

5. Побудувати таблиці значень наближених і точного розв'язків. На одному кресленні побудувати графіки наближених і точного розв'язків.

6. Оцінити похибку наближених розв'язків двома способами:

a) по формулі ; тут та - значення точного й наближеного розв'язків у вузлах сітки , i=1,..N;

b) за правилом Рунге (за правилом подвійного перерахування). З'ясувати, при якому значенні кроку h=h* розв'язок, отримане по методу Ейлера, буде мати таку ж похибку (див. п. 6а), як розв'язок, отримане за допомогою метод Рунге- Кутти із кроком h=0.1.

ВКАЗІВКА. У п. 6 рекомендується провести серію обчислень розв'язку по методу Ейлера, дроблячи крок h навпіл.

2. Завдання Коші для ЗДР 2 порядку ,

описує рух вантажу маси m, підвішеного до кінця пружини. Тут x(t) - зсув вантажу від положення рівноваги, H - константа, що характеризує силу опору середовища, k -коефіцієнт пружності пружини, f(t) - зовнішня сила. Початкові умови: – зсув вантажу в початковий момент часу t=0, - швидкість вантажу в початковий момент часу. Промоделювати рух вантажу на тимчасовому відрізку [0,T ] при заданих в індивідуальному варіанті трьох наборах (І, ІІ, ІІІ) значень параметрів завдання. Для кожного набору по знайденій таблиці (або графіку) розв'язку завдання визначити максимальне й мінімальне значення

функції x(t) і моменти часу, у які ці значення досягаються. Запропонувати свій варіант завдання параметрів, при яких характер коливань вантажу суттєво відрізняється від розглянутого раніше.

ПОРЯДОК РОЗВ'ЯЗКУ ЗАВДАННЯ:

1. Замінити вихідне завдання еквівалентним завданням Коші для системи ЗДР 1 порядку:

(2)

2. Для кожного варіанту вибору параметрів розв'язати завдання (2) за допомогою методу Рунге- Кутти 4 порядку точності із кроком h=0.1.

3. Для кожного варіанту вибору параметрів побудувати графік знайденого розв'язку. Зрівняти характер руху вантажу й дати інтерпретацію отриманого руху.

4. Для кожного варіанту вибору параметрів визначити необхідні в завданні характеристики.

ВКАЗІВКА. У п. 2 використовувати вбудовану функцію rkfіxed пакета MATHCAD

3. Розв'язати приблизно завдання Коші для ЗДР 1 порядку виду (1), використовуючи метод Рунге- Кутти 4 порядку точності й метод, зазначений у варіанті, із кроками й. Для кожного методу оцінити похибку за правилом Рунге й обчислити уточнений розв'язок. Побудувати на одному кресленні графіки наближених розв'язків (із кроком h / 2) і графіки уточнених розв'язків.

ВКАЗІВКА. Для знаходження початкових значень, необхідних для початку обчислень багатокрокових методів, використовувати вбудовану функцію rkfіxed пакета MATHCAD.

4. Розв'язати приблизно завдання Коші для ЗДР 3 порядку

, ,

на відрізку [A, B], використовуючи метод Рунге- Кутти 4 із кроками h=0.1 і h=0.05 для систем ЗДР 1 порядку. Оцінити похибку за правилом Рунге. Побудувати графік розв'язку, знайденого із кроком h=0.05.

5. Дане жорстке завдання Коші виду (1). Знайти розв'язок завдання з

заданою точністю e= .

ПОРЯДОК РОЗВ'ЯЗКУ ЗАВДАННЯ:

1. Використовуючи функцію eyler, знайти наближений розв’язок задачі Коші явним методом Ейлера з кроком h =0.15.

2. Знайти розв’язок задачі методом Рунге-Кутті 4 порядку точності за допомогою вбудованої функції rkfixed пакета MATHCAD з кроком h =0.15.

3. Побудувати графікі наближених та точного розв'язків завдання.

4. Зменшуючи крок, знайти розв'язок завдання із заданою точністю кожним з методів. Зрівняти значення кроків інтегрування, при яких досягається точність.

5. Пояснити отримані результати.

6. Дано два завдання Коші для систем ЗДР 1 порядку з постійними коефіцієнтами на відрізку [0, 1]

,

,

де A и B – задані матриці, - задані вектори. З'ясувати, яка із завдань є твердою.

ПОРЯДОК РОЗВ'ЯЗКУ ЗАВДАННЯ:

1. Скласти програму-функцію знаходження розв'язку системи ЗДР 1 порядку з постійними коефіцієнтами по явному метод Ейлера. Використовуючи складену програму, розв'язати обидві завдання із кроком h=0.01. Визначити, для якої із завдань явний метод нестійкий при даному кроці h.

2. Використовуючи вбудовану функцію eіgenvals(M) (M - матриця) пакета MATHCAD для знаходження власних чисел матриць A і B, знайти коефіцієнти твердості обох систем. Яка із завдань є твердою?

3. Для твердого завдання теоретично оцінити крок h*, при якому явний метод Ейлера буде стійкий (див. ДОДАТОК 7.C).

4. Скласти програму-функцію знаходження розв'язку системи ЗДР 1 порядку з постійними коефіцієнтами по неявному метод Ейлера. Використовуючи складену програму, знайти розв'язок твердого завдання із кроком h=0.01. Побудувати графіки компонентів отриманого розв'язку.

5. Для твердого завдання експериментально підібрати крок h, при якому графіки компонентів розв'язку, отриманого по явному метод Ейлера, візуально збігаються із графіками компонентів розв'язку, отриманого по неявному метод із кроком h=0.01. Зрівняти знайдене значення кроку

з кроком h. Пояснити відмінність поведінки явного й неявного методів Ейлера при розв'язку твердого завдання.

ВКАЗІВКА. У п. 4 для розв'язку системи лінійних рівнянь зручно використовувати вбудовану функцію lsolve пакета MATHCAD.

7. Розв'язати приблизно завдання Коші для ЗДР 1 порядку виду (1) за допомогою методу, зазначеного в індивідуальному варіанті, з точністю. При знаходженні розв'язку використовувати алгоритм автоматичного вибору кроку.

ВКАЗІВКА. У результаті роботи програми повинен створюватися файл, що містить вектор значень наближеного розв'язку, а також значення кроку h, при якому досягається задана точність. Програма по запиту повинна видавати на екран таблицю значень знайденого розв'язку у фіксованої 21 крапці відрізка або графік знайденого розв'язку.

Таблиця 9.1 – Схема варіантів до лабораторної роботи

N	Виконувані задачі	N	Виконувані задачі	N	Виконувані задачі
	9.1.1, 9.2.1, 9.5.1		9.1.11, 9.2.4, 9.6.4		9.1.21, 9.2.8, 9.6.2
	9.1.2, 9.3.1, 9.6.1		9.1.12, 9.2.5, 9.7.4		9.1.22, 9.3.8, 9.7.2
	9.1.3, 9.4.1, 9.7.1		9.1.13, 9.3.5, 9.5.5		7.1.23, 9.4.8, 9.5.3
	9.1.4, 9.2.2, 9.6.2		9.1.14, 9.4.5, 9.6.5		9.1.24, 9.2.9, 9.6.3
	9.1.5, 9.3.2, 9.5.2		9.1.15, 9.2.6, 9.6.6		9.1.25, 9.3.9 9.7.3
	9.1.6, 9.4.2, 9.7.2		9.1.16, 9.3.6, 9.7.6		9.1.26, 9.4.9, 9.6.4
	9.1.7, 9.2.3, 9.5.3		9.1.17, 9.4.6, 9.5.1		9.1.27, 9.2.10, 9.5.4
	9.1.8, 9.4.3, 9.6.3		9.1.18, 9.2.7, 9.6.1		9.1.28, 9.4.4, 9.7.4
	9.1.9, 9.3.3, 9.7.3		9.1.19, 9.3.7, 9.7.1		9.1.29, 9.3.10, 9.5.5
	9.1.10, 9.3.4, 9.5.4		9.1.20, 9.4.7, 9.5.2		9.1.30, 9.4.10, 9.6.5

Таблиця 9.2 – Завдання 1

N	f(t,y)	t0	T	y0	N	f(t,y)	t0	T	y0
9.1.1					9.1.16
9.1.2			+1		9.1.17
9.1.3					9.1.18
9.1.4			+1	0.5	9.1.19
9.1.5		-1		1.5	9.1.20
9.1.6					9.1.21
9.1.7			+1		9.1.22
9.1.8		p	p+1		9.1.23
9.1.9					9.1.24
9.1.10					9.1.25				0.5
9.1.11					9.1.26
9.1.12					9.1.27				-0.5
9.1.13					9.1.28
9.1.14					9.1.29
9.1.15				-	9.1.30				-1

Таблиця 9.3 – Завдання 2

N		H	k	m	f(t)	x0	v0	T
9.2.1	I II   III	0.5 -“-   -“-	-“-   -“-	-“-   -“-		-10	-“-   -“-	-“-   -“-
9.2.2	I II III	-“- -“-	-“- -“-	0.5 -“- -“-	tsin(t) tsin(t)	-“- -“-	-10 -50	-“- -“-
9.2.3	I II III	-“- -“-	-“- -“-	0.75 -“- -“-	-“- -“-	-10 -10		-“- -“-
9.2.4	I II III	-“- -“-	-“- -“-		cos(t) -“- -“-	-“- -“-	-“- -“-	-“- -“-
9.2.5	I II III	0.5 -“- -“-	0.5	-“- -“-	-“- -“-	-“- -“-	-“- -“-	-“- -“-
9.2.6	I II III	-“- -“-	0.5	-“- -“-	-“- -“-	-“- -“-	-“- -“-	-“- -“-
9.2.7	I II III	0.1	-“- -“-	-“- -“-	-t -“- -“-	-“- -“-	-“- -“-	-“- -“-
9.2.8	I II III	-“- -“-	-“- -“-	0.5	sin(t) -“- -“-	-“- -“-	-“- -“-	-“- -“-
9.2.9	I II III	-“- -“-	-“- -“-	-“- -“-	-cos(0.5t) -cos(2t)	-“- -“-	-“- -“-	-“- -“-
9.2.10	I   II III	0.5   -“- -“-	-“- -“-	0.5   -“- -“-	- -“-		-10	-“- -“-

Таблиця 9.4 – Завдання 3

N	f(t,y)	t0	T	y0	Метод
9.3.1					Метод Рунге-Кутти 3 порядку I
9.3.2					Экстраполяційний метод Адамса 2 порядку
9.3.3				-1	Модифицир. метод Ейлера 2 порядку
9.3.4			0.8	0.5	Экстраполяційний метод Адамса 3 порядку
9.3.5					Метод Рунге-Кутти 3 порядку II
9.3.6					Экстраполяційний метод Адамса 3 порядку
9.3.7			0.8		Экстраполяційний метод Адамса 4 порядку
9.3.8					Метод разложения по формуле Тейлора 2 порядку
9.3.9					Экстраполяційний метод Адамса 3 порядку
9.3.10					Метод Рунге-Кутти 3 порядку III

Таблиця 9.5 – Завдання 4

N	A	B
9.4.1		1.5		2.5			-2	0.25	45.75
9.4.2		1.5		2.0			-1.8	0.36	44.28
9.4.3		1.5		2.5			-1.4	0.64	41.52
9.4.4		2.0		1.5			-1.4	1.88	45.24
9.4.5		1.5		3.0			-2.4	0.09	48.87
9.4.6		1.0		3.5			-1	8.8	29.00
9.4.7		1.5		2.8			-1.5	-1.25	53.375
9.4.8		1.5	1.5	4.0			-4.6	3.94	34.28
9.4.9		1.5		2.5			-4.1	0.64	42.85
9.4.10		1.5		3.1			-3.9	9.43	26.295

Таблиця 9.6 – Завдання 5

N	f(t,y)	t0	T	y0	точне рішення
9.5.1			1.5
9.5.2			1.5
9.5.3			1.5
9.5.4			1.5
9.5.5			1.5
9.5.6			1.5

Таблиця 9.7 – Завдання 6

N	A		B
9.6.1	-1.999 -0.019 -0.063 -1.051		-10.850 9.787 32.515 -499.55
9.6.2	-13.237 15.299 33.885 522.183		-6.905 0.03 -0.145 -6.095
9.6.3	-0.717 -23.827 114.483 -640.393		-1.905 -0.015 -0.13 -2.295
9.6.4	-17.359 -0.573 5.366 -21.351		-64.712 -85.344 -128.964 -170.918
9.6.5	-229.934 301.266 227.624 -303.576		-2.018 -0.818 -0.082 -1.282

Таблиця 9.8 – Завдання 7