Метод наименьших квадратов. Запишем сумму квадратов отклонений для всех точек x1, x2, , xn:

Запишем сумму квадратов отклонений для всех точек x₁, x₂,…, x_n:

(23)

Параметры a₁, a₂,…, a_m эмпирической формулы (20) будем находить из условия минимума функции S. В этом состоит метод наименьших квадратов. Минимум функции находим из условия равенства нулю частных производных по всем параметрам:

… (24)

Полученные соотношения - система линейных уравнений для опреде-ления неизвестных параметров.

Например, для линейной функции y = ax + b эта система имеет вид:

(25)

В системе MathCad существуют встроенные функции для вычисления коэффициентов а и b линейной зависимости y=ax+b:

- slope(x,y) - возвращает значение коэффициента а;

- intercept(x,y) - возвращает значение коэффициента b.

Формулы для вычисления коэффициентов а и b линейной зависимости можно применять для нахождения параметров эмпирических функций, график которых не является прямой линией.

Так, если эмпирическая формула имеет вид степенной функции y=kx^m, то, введя обозначения У=lny и X=lnx можно воспользоваться формулами для вычисления коэффициентов а и b линейной зависимости и выразить через них значения коэффициентов k и m: k=e^b и m=a .

Если эмпирическая формула имеет вид показательной функции y=pe^qx, то, введя обозначения У=lny и X=x и вычислив коэффициенты а и b линейной зависимости, можно выразить через них значения коэффициентов p и q: p=e^b и q=a .

Примеры построения эмпирических формул даны в приложении Г.

Задание 3.4. По заданным экспериментальным данным найти параметры эмпирических формул (y=ax+b, y=kx^m, y=pe^qx, y=alnx+b)методомнаименьших квадратовс помощью встроенных функций MathCad. Построить графики полученных функций. Выбрать наилучшее приближение и найти значение у в точке х=n +0.55, где n - номер варианта.

Вариант 1

x	0.1	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0	1.2	1.4
y	3.0	4.38	6.78	9.86	14.96	22.07	33.17	49.23

Вариант 2

x	0.05	0.2	0.4	0.6	0.9	1.2	1.5	1.8
y	0.521	1.555	3.572	5.622	7.801	11.77	14.78	17.82

Вариант 3

x	0.1	0.2	0.5	0.7		1.2	1.5	2.5
y	3.02	4.38	6.78	9.86	14.96	22.07	33.17	49.23

Вариант 4

x	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0	2.0	3.0	4.0
y	11.213	8.0617	6.3512	4.8412	4.1201	0.9103	0.5413	0.1512

Вариант 5

x	0.1	0.5		1.7	2.50	3.5
y	109.13	40.271	14.728	5.5432	2.1201	0.8403	0.1733	0.2112

Вариант 6

x	0.2	0.45	0.6	0.8	1.0	3.0	5.0	7.0
y	4.455	9.034	9.952	11.38	12.52	17.98	20.55	22.23

Вариант 7

x	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0	2.0	4.0	6.0
y	6.733	4.027	1.762	1.452	1.211	0.693	0.423	0.312

Вариант 8

x	8.0	6.0	4.0	2.0	1.0	0.8	0.6	0.4
y	0.2813	0.6123	0.6512	1.6122	2.9201	3.8503	4.9123	7.6212

Вариант 9

x	0.05	2.0	4.0	6.0	8.0	10.0	12.0	14.0
y	0.0121	2.7312	4.1012	4.8112	5.7601	6.2203	7.0313	7.5812

Вариант 10

x	0.2	0.45	0.6	0.8	1.0	3.0	5.0	7.0
y	5.121	5.531	5.642	5.95	6.11	9.13	13.53	20.31

Вариант 11

x	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0	3.0	5.0	7.0
y	17.23	19.11	19.52	20.03	20.52	22.67	23.73	24.55

Вариант 12

x	0.2	0.45	0.9	1.5	3.0	5.0	7.0
y	0.323	0.727	1.122	1.6582	1.9001	3.3103	4.5213	5.9812

Порядок выполнения задания:

1. Ввести значения векторов х и y.

2. Вычислить коэффициенты a1 и b1 аппроксимирующей прямой у1(х), используя формулы slope(x,y) и intercept(x,y).

3. Вычислить коэффициенты k и m степенной функции y2(х)=kx^m, предварительно введя новые переменные У и X и вычислив коэффициенты а2 и b2 линейной зависимости, используя формулы slope(Х,У) и intercept(Х,У).

4. Вычислить коэффициенты p и q показательной функции у3(х)= pe^qx, предварительно введя новые переменные У и X и вычислив коэффициенты а3 и b3 линейной зависимости.

5. Вычислить коэффициенты a4 и b4 показательной функции у4(х)=a4lnx+b4, предварительно введя новые переменные У и X.

6. Изобразите на графике заданные экспериментальные точки У_i и функции у1(х_i), у2(х_i), у3(х_i), у4(х_i) и выберите наилучшее приближение.

7. Найдите значение функции в указанной точке.