Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Интерполирование функций



При математическом моделировании часто используются зависимости вида у(х), обычно заданные рядом значений х и у их узловых точек. Однако, когда этих точек мало, такая зависимость оказывается не информативной и не наглядной. Промежуточные точки зависимости у(х) можно получить путем их интерполяции. Интерполирующая функция должна проходить через узловые точки и принимать значения, близкие к точным, в остальных точках. Одной из распространенных интерполирующих функций является интерполяционный многочлен Лагранжа:

. (19)

При n=1 получается формула линейной интерполяции, при n=2 – квадратичной интерполяции и т.д.

В системе MathCad существуют встроенные функции линейной и сплайн-интерполяции. При линейной интерполяции узловые точки соединяются отрезками прямых. Если х выходит за пределы конечных точек, то осуществляется линейная экстраполяция по отрезкам прямых, примыкающим к конечным точкам. При сплайн-интерполяции зависимость у(х) заменяется кусками полиномов третьей степени. Каждый полином проходит точно через три ближайшие узловые точки. Коэффициенты полинома подбираются так, чтобы обеспечить не только непрерывность функции в узловых точках, но и непрерывность ее двух производных. Эти свойства сплайн-интерполяции позволяют эффективно применять ее даже при малом числе узловых точек – до 5-7 для простых функций.

Интерполяция реализуется с помощью следующих функций:

- linterp(X,Y,x) –вычисляет значение у(х) для заданного х при линейной интерполяции,

- cspline(X,Y) – вычисляет вектор V вторых производных при сплайн-интерполяции и кубической экстраполяции,

- pspline(X,Y) – вычисляет вектор V вторых производных при сплайн-интерполяции и параболической экстраполяции,

- lspline(X,Y) – вычисляет вектор V вторых производных при сплайн-интерполяции и линейной экстраполяции,

- interp(V,X,Y,x) – вычисляет значение у(х) для заданного х при сплайн-интерполяции.

Задание 3.1. Определить значения функции в точках Х1 и Х2, используя встроенные функции линейной и сплайн-интерполяции. Построить графики интерполирующих функций в обоих случаях (см. приложение В).

Вариант 1

Х 1,3 2,1 3,7 4,5 6,1 7,7 8,5
У 1,777 4,5634 13,8436 20,3952 37,33,87 59,4051 72,3593

Х1=5,2 Х2=7,9

Вариант 2

Х 1,2 1,9 3,3 4,7 5,4 6,8 7,5
У 0,3486 1,0537 1,7844 2,2103 2,3712 2,6322 2,7411

Х1=2,1 Х2=7,3

Вариант 3

Х 2,6 3,3 4,7 6,1 7,5 8,2 9,6
У 2,1874 2,8637 3,8161 3,8524 3,1905 2,8409 2,6137

Х1=4,1 Х2=7,9

Вариант 4

Х 1,3 2,1 3,7 4,5 6,1 7,7 8,5
У 1,777 4,5634 13,8436 20,3952 37,33,87 59,4051 72,3593

Х1=3,9 Х2=9,3

Вариант 5

Х 1,2 1,9 3,3 4,7 5,4 6,8 7,5
У 0,3486 1,0537 1,7844 2,2103 2,3712 2,6322 2,7411

Х1=2,9 Х2=7,4

Вариант 6

Х 2,6 3,3 4,7 6,1 7,5 8,2 9,6
У 2,1874 2,8637 3,8161 3,8524 3,1905 2,8409 2,6137

Х1=5,5 Х2=9,4

Вариант 7

Х 1,3 2,1 3,7 4,5 6,1 7,7 8,5
У 1,777 4,5634 13,8436 20,3952 37,33,87 59,4051 72,3593

Х1=2,5 Х2=8,3

Вариант 8

Х 1,2 1,9 3,3 4,7 5,4 6,8 7,5
У 0,3486 1,0537 1,7844 2,2103 2,3712 2,6322 2,7411

Х1=4,1 Х2=7,2

Вариант 9

Х 2,6 3,3 4,7 6,1 7,5 8,2 9,6
У 2,1874 2,8637 3,8161 3,8524 3,1905 2,8409 2,6137

Х1=2,8 Х2=9,1

Вариант 10

Х 1,3 2,1 3,7 4,5 6,1 7,7 8,5
У 1,777 4,5634 13,8436 20,3952 37,33,87 59,4051 72,3593

Х1=4,1 Х2=8,2

Вариант 11

Х 1,2 1,9 3,3 4,7 5,4 6,8 7,5
У 0,3486 1,0537 1,7844 2,2103 2,3712 2,6322 2,7411

Х1=2,9 Х2=7,1

Вариант 12

Х 2,6 3,3 4,7 6,1 7,5 8,2 9,6
У 2,1874 2,8637 3,8161 3,8524 3,1905 2,8409 2,6137

Х1=5,5 Х2=8,9

Порядок выполнения задания:

1. Ввести значения векторов Х и У.

2. С помощью функции linterp(X,Y,x) найти значения функции у(х) в заданных точках х при линейной интерполяции.

3. Построить график функции при линейной интерполяции.

4. С помощью функций cspline(X,Y) interp(V,X,Y,x) найти значения функции у(х) в заданных точках х при сплайн-интерполяции.

5. Построить график функции при сплайн-интерполяции.

Задание 3.2. Записать интерполяционный многочлен Лагранжа и вычислить значения функции в указанных точках с помощью системы MathCad. Построить график.

Порядок выполнения задания:

1. Записать формулу интерполяционного многочлена Лагранжа, используя знаки суммы и произведения и встроенной функции if (условие, выражение 1, выражение 2), которая принимает значение выражения 1, если условие выполняется, и выражения 2, если условие не выполняется.

2. Вычислить значение функции в указанных точках (данные взять из задания 1).

3. Построить график интерполяционного многочлена.

Задание 3.3 По заданной таблице значений функции составить формулу интерполяционного многочлена Лагранжа (19).

Вариант 1

Х -1    
У -3    

Вариант 2

Х      
У      

Вариант 3

Х      
У -1 -4  

Вариант 4

Х      
У   -2  

Вариант 5

Х -3 -1  
У   -1  

Вариант 6

Х      
У -3 -7  

Вариант 7

Х -2 -1  
У      

Вариант 8

Х      
У   -3  

Вариант 9

Х -1    
У -3    

Вариант 10

Х -3 -1  
У   -1  

Вариант 11

Х      
У      

Вариант 12





Дата публикования: 2015-09-18; Прочитано: 242 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.009 с)...